Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση
-
- Δημοσιεύσεις: 68
- Εγγραφή: Τετ Ιαν 29, 2014 12:14 pm
Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση
Με τον συνάδελφο Ευριπίδη Κασσέτα επιλέξαμε τις παρακάτω ασκήσεις:
1) Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:
(1)
2) Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:
(1)
3) Να βρεθούν οι τιμές του , για τις οποίες η παράσταση γίνεται τετράγωνο ακεραίου.
4) Να βρεθούν όλα τα ζεύγη των ακεραίων λύσεων της εξίσωσης:
(1)
5) Να βρεθούν οι που πληρούν την (1)
6) Να βρεθεί το έτος γεννήσεως ενός ανθρώπου, αν γνωρίζουμε ότι το έτος 1896 είχε ηλικία ίση με το άθροισμα των ψηφίων του έτους της γέννησής του.
7) Κάποιος με 40 ευρώ ακριβώς αγόρασε 40 εισιτήρια τριών κατηγοριών: του μισού ευρώ, των δύο ευρώ και των τεσσάρων ευρώ. Να βρείτε πόσα εισιτήρια αγόρασε από κάθε κατηγορία.
1) Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:
(1)
2) Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:
(1)
3) Να βρεθούν οι τιμές του , για τις οποίες η παράσταση γίνεται τετράγωνο ακεραίου.
4) Να βρεθούν όλα τα ζεύγη των ακεραίων λύσεων της εξίσωσης:
(1)
5) Να βρεθούν οι που πληρούν την (1)
6) Να βρεθεί το έτος γεννήσεως ενός ανθρώπου, αν γνωρίζουμε ότι το έτος 1896 είχε ηλικία ίση με το άθροισμα των ψηφίων του έτους της γέννησής του.
7) Κάποιος με 40 ευρώ ακριβώς αγόρασε 40 εισιτήρια τριών κατηγοριών: του μισού ευρώ, των δύο ευρώ και των τεσσάρων ευρώ. Να βρείτε πόσα εισιτήρια αγόρασε από κάθε κατηγορία.
τελευταία επεξεργασία από matha σε Κυρ Φεβ 25, 2018 5:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Αλλαγή φακέλου.
Λόγος: Αλλαγή φακέλου.
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση
Για την 1
Είναι
Οπότε
Οπότε δεκτή η . Έστω
Άρα λύσεις
Είναι
Οπότε
Οπότε δεκτή η . Έστω
Άρα λύσεις
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση
Για την 3
Έστω
Άρα
Για να είναι πρέπει
Για είναι άρα
Για είναι άρα
Για αναγόμαστε στην πρώτη περίπτωση.
Για αναγόμαστε πάλι στην πρώτη κλπ.
Τελικά λύσεις οι .
Έστω
Άρα
Για να είναι πρέπει
Για είναι άρα
Για είναι άρα
Για αναγόμαστε στην πρώτη περίπτωση.
Για αναγόμαστε πάλι στην πρώτη κλπ.
Τελικά λύσεις οι .
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση
Για την 4
Είναι
Eίναι
Eπειδή όμως και πρέπει
Παίρνουμε
Για είναι άρα άτοπο.
Για είναι άρα
Για είναι άρα
Για είναι άρα άτοπο.
Oι υπόλοιπες περιπτώσεις ανάγονται στις παραπάνω.
Για είναι
Για είναι
Άρα έχουμε τα ζεύγη
Είναι
Eίναι
Eπειδή όμως και πρέπει
Παίρνουμε
Για είναι άρα άτοπο.
Για είναι άρα
Για είναι άρα
Για είναι άρα άτοπο.
Oι υπόλοιπες περιπτώσεις ανάγονται στις παραπάνω.
Για είναι
Για είναι
Άρα έχουμε τα ζεύγη
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση
Για την 5
Είναι
Έχουμε έστω
και έστω
Άρα η σχέση γίνεται
Άρα πρέπει
Oπότε οι λύσεις είναι τα ζεύγη της μορφής
Είναι
Έχουμε έστω
και έστω
Άρα η σχέση γίνεται
Άρα πρέπει
Oπότε οι λύσεις είναι τα ζεύγη της μορφής
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση
Για την 6
Έστω το έτος ηλικίας του
Το έτος θα έχει ηλικία
Άρα έχουμε την εξίσωση
Για θα είναι πάντα αφού θετικοί.
Άρα (άμεσο και από την αρχή).
Αντικαθιστούμε
Για θα είναι πάντα
Για θα είναι πάντα
Άρα (και αυτό άμεσο εξ'αρχής)
Αντικαθιστούμε
Για θα είναι
Για είναι
Άρα
Άρα το έτος γεννήσεως είναι το .
Έστω το έτος ηλικίας του
Το έτος θα έχει ηλικία
Άρα έχουμε την εξίσωση
Για θα είναι πάντα αφού θετικοί.
Άρα (άμεσο και από την αρχή).
Αντικαθιστούμε
Για θα είναι πάντα
Για θα είναι πάντα
Άρα (και αυτό άμεσο εξ'αρχής)
Αντικαθιστούμε
Για θα είναι
Για είναι
Άρα
Άρα το έτος γεννήσεως είναι το .
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση
Για την 7
Έστω ότι αγόρασε του μισού , των και των .
Θα είναι
Aντικαθιστούμε
Για να είναι πρέπει και
Έστω ότι αγόρασε του μισού , των και των .
Θα είναι
Aντικαθιστούμε
Για να είναι πρέπει και
- Για είναι και άρα
- Για είναι και άρα
Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση
Για το 6ο:
Προφανώς το έτος γέννησης είναι 4-ψήφιος, έστω .
Έχουμε ότι , άρα δεν μπορεί να γεννήθηκε πριν το .
Ελέγχουμε τώρα ανά δεκαετία τις ηλικίες:
1), οπότε
2), οπότε
3), οπότε
4), οπότε
Όμως και άρα , όπου σε συνδιασμό με την παραπάνω διαπίστωση, δεν μπορεί να γεννήθηκε σε αυτήν τη δεκαετία.
Δουλεύουμε όμοια και στις υπόλοιπες περιπτώσεις παίρνουμε ότι μόνο στην 2η δεκαετία μπορεί να έχει γεννηθεί και
Ελέγχοντας λοιπόν τις τιμές αυτές λαμβάνουμε ότι μπορεί να γεννήθηκε μόνο το .
age
Προφανώς το έτος γέννησης είναι 4-ψήφιος, έστω .
Έχουμε ότι , άρα δεν μπορεί να γεννήθηκε πριν το .
Ελέγχουμε τώρα ανά δεκαετία τις ηλικίες:
1), οπότε
2), οπότε
3), οπότε
4), οπότε
Όμως και άρα , όπου σε συνδιασμό με την παραπάνω διαπίστωση, δεν μπορεί να γεννήθηκε σε αυτήν τη δεκαετία.
Δουλεύουμε όμοια και στις υπόλοιπες περιπτώσεις παίρνουμε ότι μόνο στην 2η δεκαετία μπορεί να έχει γεννηθεί και
Ελέγχοντας λοιπόν τις τιμές αυτές λαμβάνουμε ότι μπορεί να γεννήθηκε μόνο το .
age
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες