Πόσο ασυνεχής μπορεί να είναι η παράγωγος

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Πόσο ασυνεχής μπορεί να είναι η παράγωγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Σάβ Δεκ 02, 2017 6:07 pm

Έστω f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη στο [a,b]
Ισχύει ότι η f' δεν μπορεί να είναι ασυνεχής \forall x\in [c,d] με a<c<d<b;
Είναι η f' συνεχής και μπορεί να παρουσιάζει ασυνέχεια μόνο σε μεμονωμένα σημεία;



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πόσο ασυνεχής μπορεί να είναι η παράγωγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Δεκ 02, 2017 7:15 pm

mikemoke έγραψε:
Σάβ Δεκ 02, 2017 6:07 pm
Έστω f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη στο [a,b]
Ισχύει ότι η f' δεν μπορεί να είναι ασυνεχής \forall x\in [c,d] με a<c<d<b;
Είναι η f' συνεχής και μπορεί να παρουσιάζει ασυνέχεια μόνο σε μεμονωμένα σημεία;
Πας πολύ βαθιά.

Η απάντηση στο πρώτο ερώτημα είναι αρνητική.

Κάποια πράγματα μπορείς να δεις στο

https://en.wikipedia.org/wiki/Baire_function

Εκεί θα δεις και το όνομα του Κεχρή κόσμημα για τα Ελληνικά Μαθηματικά αλλά άγνωστος στην Ελλάδα.


Το δεύτερο ερώτημα είναι πιο απλό(σε παράθεση με το πρώτο)

Πάρε την f(x)=x^{2}\sin \frac{1}{x},x\neq 0,f(0)=0

Η παράγωγος της είναι ασυνεχής στο 0

(απόδειξε το να κάνεις και εσύ κάτι)

Με βάση το προηγούμενο μπορούμε να φτιάξουμε συνάρτηση που η παράγωγος της είναι

ασυνεχής σε πεπερασμένο πλήθος σημείων.

Αν έχεις κάποια απορία εδώ είμαστε να σου την λύσουμε


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Πόσο ασυνεχής μπορεί να είναι η παράγωγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Σάβ Δεκ 02, 2017 9:06 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Δεκ 02, 2017 7:15 pm
mikemoke έγραψε:
Σάβ Δεκ 02, 2017 6:07 pm
Έστω f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη στο [a,b]
Ισχύει ότι η f' δεν μπορεί να είναι ασυνεχής \forall x\in [c,d] με a<c<d<b;
Είναι η f' συνεχής και μπορεί να παρουσιάζει ασυνέχεια μόνο σε μεμονωμένα σημεία;
Πας πολύ βαθιά.

Η απάντηση στο πρώτο ερώτημα είναι αρνητική.

Κάποια πράγματα μπορείς να δεις στο

https://en.wikipedia.org/wiki/Baire_function

Εκεί θα δεις και το όνομα του Κεχρή κόσμημα για τα Ελληνικά Μαθηματικά αλλά άγνωστος στην Ελλάδα.


Το δεύτερο ερώτημα είναι πιο απλό(σε παράθεση με το πρώτο)

Πάρε την f(x)=x^{2}\sin \frac{1}{x},x\neq 0,f(0)=0

Η παράγωγος της είναι ασυνεχής στο 0

(απόδειξε το να κάνεις και εσύ κάτι)

Με βάση το προηγούμενο μπορούμε να φτιάξουμε συνάρτηση που η παράγωγος της είναι

ασυνεχής σε πεπερασμένο πλήθος σημείων.

Αν έχεις κάποια απορία εδώ είμαστε να σου την λύσουμε
Γνωρίζω το παράδειγμα της f(x)=x^{2}\sin \frac{1}{x},x\neq 0,f(0)=0
\displaystyle{ 
f'(x)= 
-cos\frac{1}{x}+2xsin\frac{1}{x} 
\forall x\neq 0 
}
f'(0)=0 όταν x=0

το όριο στο 0 της f' δεν υπάρχει

Μπορεί το πλήθος των σημείων ασυνέχειας να μην είναι πεπερασμένο όπως εδώ:https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra%27s_function

Μια απορία που έχω είναι ποια είναι η περίπτωση της πιο ασυνεχής f' ,αυτής με το μεγαλύτερο πλήθος σημείων ασυνέχειας .


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πόσο ασυνεχής μπορεί να είναι η παράγωγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Δεκ 02, 2017 9:53 pm

mikemoke έγραψε:
Σάβ Δεκ 02, 2017 9:06 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Δεκ 02, 2017 7:15 pm
mikemoke έγραψε:
Σάβ Δεκ 02, 2017 6:07 pm
Έστω f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη στο [a,b]
Ισχύει ότι η f' δεν μπορεί να είναι ασυνεχής \forall x\in [c,d] με a<c<d<b;
Είναι η f' συνεχής και μπορεί να παρουσιάζει ασυνέχεια μόνο σε μεμονωμένα σημεία;
Πας πολύ βαθιά.

Η απάντηση στο πρώτο ερώτημα είναι αρνητική.

Κάποια πράγματα μπορείς να δεις στο

https://en.wikipedia.org/wiki/Baire_function

Εκεί θα δεις και το όνομα του Κεχρή κόσμημα για τα Ελληνικά Μαθηματικά αλλά άγνωστος στην Ελλάδα.


Το δεύτερο ερώτημα είναι πιο απλό(σε παράθεση με το πρώτο)

Πάρε την f(x)=x^{2}\sin \frac{1}{x},x\neq 0,f(0)=0

Η παράγωγος της είναι ασυνεχής στο 0

(απόδειξε το να κάνεις και εσύ κάτι)

Με βάση το προηγούμενο μπορούμε να φτιάξουμε συνάρτηση που η παράγωγος της είναι

ασυνεχής σε πεπερασμένο πλήθος σημείων.

Αν έχεις κάποια απορία εδώ είμαστε να σου την λύσουμε
Γνωρίζω το παράδειγμα της f(x)=x^{2}\sin \frac{1}{x},x\neq 0,f(0)=0
\displaystyle{ 
f'(x)= 
-cos\frac{1}{x}+2xsin\frac{1}{x} 
\forall x\neq 0 
}
f'(0)=0 όταν x=0

το όριο στο 0 της f' δεν υπάρχει

Μπορεί το πλήθος των σημείων ασυνέχειας να μην είναι πεπερασμένο όπως εδώ:https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra%27s_function

Μια απορία που έχω είναι ποια είναι η περίπτωση της πιο ασυνεχής f' ,αυτής με το μεγαλύτερο πλήθος σημείων ασυνέχειας .


Μια απορία που έχω είναι ποια είναι η περίπτωση της πιο ασυνεχής f' ,αυτής με το μεγαλύτερο πλήθος σημείων ασυνέχειας


πας ακόμα πιο βαθιά. Το μεγαλύτερο θέλει μαθηματική διευκρίνιση. Σε αυτές τις περιπτώσεις το μεγαλύτερο μεταφράζεται σε σύνολο δεύτερης κατηγορίας η σε σύνολο με μεγαλύτερο μέτρο.

Το θέμα δεν το γνωρίζω. Σίγουρα ξεπερνάει τις γνώσεις σου.

Επειδή μου κίνησες το ενδιαφέρον θα το ψάξω.
Αν βρω κάτι ενδιαφέρον θα το γράψω.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πόσο ασυνεχής μπορεί να είναι η παράγωγος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Δεκ 03, 2017 3:30 pm

Το παρακάτω είναι απόσπασμα από το βιβλίο
A second course
on real function
A.C.M VAN ROOIJ AND W.H.SCHIKHOF
(το βιβλίο αυτό το έμαθα από τον Μιχάλη Λάμπρου το 1985)
https://books.google.gr/books?id=Cqk5AA ... le&f=false

Αν δούμε το EXAMPLE 13.2
Υπάρχει συνάρτηση που η παράγωγος της δεν είναι Riemann ολοκληρώσιμη σε κανένα διάστημα.
Ετσι το Lebesgue μέτρο των σημείων που η παράγωγος δεν είναι συνεχής είναι θετικό.


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Πόσο ασυνεχής μπορεί να είναι η παράγωγος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Τρί Δεκ 05, 2017 10:27 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Δεκ 03, 2017 3:30 pm
Το παρακάτω είναι απόσπασμα από το βιβλίο
A second course
on real function
A.C.M VAN ROOIJ AND W.H.SCHIKHOF
(το βιβλίο αυτό το έμαθα από τον Μιχάλη Λάμπρου το 1985)
https://books.google.gr/books?id=Cqk5AA ... le&f=false

Αν δούμε το EXAMPLE 13.2
Υπάρχει συνάρτηση που η παράγωγος της δεν είναι Riemann ολοκληρώσιμη σε κανένα διάστημα.
Ετσι το Lebesgue μέτρο των σημείων που η παράγωγος δεν είναι συνεχής είναι θετικό.
Σχετικές πληροφορίες υπάρχουν και εδώ :https://groups.google.com/forum/#!msg/s ... EQ0HVpoj4J
https://groups.google.com/forum/#!msg/s ... mRLJmd0xsJ


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2242
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Πόσο ασυνεχής μπορεί να είναι η παράγωγος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Δεκ 23, 2017 1:00 am

από μια παλιά εργασία
4 Eme Darboux.doc
(250.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 143 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης