Συνάρτηση και κλασικές ισότητες

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Επίτιμος Κ
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Παρ Οκτ 27, 2017 1:34 pm

Συνάρτηση και κλασικές ισότητες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Επίτιμος Κ » Παρ Νοέμ 03, 2017 4:53 pm

Για σας. Δε γνωρίζω αν έχει ξανατεθεί. Το αρχείο σας είναι μεγάλο. Με επιφύλαξη θέτω το εξής θέμα:

Να βρεθούν οι συναρτήσεις f:R\rightarrow R που \forall x,y\epsilon R ικανοποιούν τις ισότητες

f(x+y)=f(x)+f(y) και f(xy)=f(x)f(y)



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2899
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συνάρτηση και κλασικές ισότητες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Νοέμ 03, 2017 7:53 pm

Επίτιμος Κ έγραψε:
Παρ Νοέμ 03, 2017 4:53 pm
Για σας. Δε γνωρίζω αν έχει ξανατεθεί. Το αρχείο σας είναι μεγάλο. Με επιφύλαξη θέτω το εξής θέμα:

Να βρεθούν οι συναρτήσεις f:R\rightarrow R που \forall x,y\epsilon R ικανοποιούν τις ισότητες

f(x+y)=f(x)+f(y) και f(xy)=f(x)f(y)
Σίγουρα έχουν συζητηθεί. Πάντως αν ζητάμε όλες τις συναρτήσεις δεν είναι κατάλληλος
φάκελος. Εκτός αν έχει ξεχασθεί ότι οι συναρτήσεις είναι συνεχείς.


Επίτιμος Κ
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Παρ Οκτ 27, 2017 1:34 pm

Re: Συνάρτηση και κλασικές ισότητες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Επίτιμος Κ » Παρ Νοέμ 03, 2017 8:54 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Νοέμ 03, 2017 7:53 pm
Επίτιμος Κ έγραψε:
Παρ Νοέμ 03, 2017 4:53 pm
Για σας. Δε γνωρίζω αν έχει ξανατεθεί. Το αρχείο σας είναι μεγάλο. Με επιφύλαξη θέτω το εξής θέμα:

Να βρεθούν οι συναρτήσεις f:R\rightarrow R που \forall x,y\epsilon R ικανοποιούν τις ισότητες

f(x+y)=f(x)+f(y) και f(xy)=f(x)f(y)
Σίγουρα έχουν συζητηθεί. Πάντως αν ζητάμε όλες τις συναρτήσεις δεν είναι κατάλληλος
φάκελος. Εκτός αν έχει ξεχασθεί ότι οι συναρτήσεις είναι συνεχείς.
Η άσκηση είναι πριν από τη συνέχεια. Ψάχνοντας σ'αυτό το φάκελο είδα παρόμοιες γιαυτό και την έβαλα.
Θα μπορούσε να μπει και στα θέματα με απαιτήσεις. Δε γνωρίζω τα κριτήρια.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11928
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνάρτηση και κλασικές ισότητες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 03, 2017 8:59 pm

Επίτιμος Κ έγραψε:
Παρ Νοέμ 03, 2017 4:53 pm
Να βρεθούν οι συναρτήσεις f:R\rightarrow R που \forall x,y\epsilon R ικανοποιούν τις ισότητες

f(x+y)=f(x)+f(y) και f(xy)=f(x)f(y)
Θέλουμε να ισχύουν και οι δύο σχέσεις συγχρόνως ή χωριστά;


Επίτιμος Κ
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Παρ Οκτ 27, 2017 1:34 pm

Re: Συνάρτηση και κλασικές ισότητες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Επίτιμος Κ » Παρ Νοέμ 03, 2017 11:03 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Νοέμ 03, 2017 8:59 pm
Επίτιμος Κ έγραψε:
Παρ Νοέμ 03, 2017 4:53 pm
Να βρεθούν οι συναρτήσεις f:R\rightarrow R που \forall x,y\epsilon R ικανοποιούν τις ισότητες

f(x+y)=f(x)+f(y) και f(xy)=f(x)f(y)
Θέλουμε να ισχύουν και οι δύο σχέσεις συγχρόνως ή χωριστά;
Φυσικά και τις δυο πχ η σταθερή συνάρτηση f(x)=0 ή η ταυτοτική f(x)=x


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2899
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συνάρτηση και κλασικές ισότητες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Νοέμ 07, 2017 8:53 pm

Αφού όπως διευκρινίσθηκε ότι η συνάρτηση πληρεί και τις δύο σχέσεις
και έμεινε αναπάντητη θα την απαντήσω.

Εχει συζητηθεί στο :logo: το εξής:

Αν f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

ώστε f(x+y)=f(x)+f(y)

τότε f(0)=0 και f(q)=f(1)q,q\in \mathbb{Q}


Αν στην f(xy)=f(x)f(y) θέσουμε x=y=1

τότε παίρνουμε f(1)=0 η f(1)=1

Στην πρώτη περίπτωση f(x1)=f(x)f(1)=f(x)0=0

που επαληθεύει και τις δύο σχέσεις όποτε είναι μια λύση.

Εστω ότι f(1)=1.

Εχουμε ότι για t>0 ότι f(t)=f((\sqrt{t})^{2})=f(\sqrt{t}))^{2}\geq 0

Αν για t>0 είναι f(t)=0 εύκολα προκύπτει ότι 0=f(t)f(\frac{1}{t})=f(1)
ΑΤΟΠΟ.

Αρα t> 0\Rightarrow f(t)> 0

Επειδή f(x)-f(y)=f(x-y)

προκύπτει ότι είναι γνησίως αύξουσα.

Αρα είναι φραγμένη στο [-1,1]
Εχει συζητηθεί στο :logo: ότι τότε είναι συνεχής στο 0.

Βγαίνει συνεχής παντού οπότε καταλήγουμε στο ότι f(x)=x

Τελικά οι λύσεις είναι f(x)=0 η f(x)=x

Παράκληση.Αν κάποιος ξέρει τους συνδέσμους των συζητήσεων που ανέφερα παραπάνω ας τους βάλει.


Επίτιμος Κ
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Παρ Οκτ 27, 2017 1:34 pm

Re: Συνάρτηση και κλασικές ισότητες

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Επίτιμος Κ » Παρ Νοέμ 10, 2017 9:55 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Νοέμ 07, 2017 8:53 pm
Αφού όπως διευκρινίσθηκε ότι η συνάρτηση πληρεί και τις δύο σχέσεις
και έμεινε αναπάντητη θα την απαντήσω.

Εχει συζητηθεί στο :logo: ότι τότε είναι συνεχής στο 0.

Βγαίνει συνεχής παντού οπότε καταλήγουμε στο ότι f(x)=x

Τελικά οι λύσεις είναι f(x)=0 η f(x)=x

Παράκληση.Αν κάποιος ξέρει τους συνδέσμους των συζητήσεων που ανέφερα παραπάνω ας τους βάλει.
Πραγματικά η συνάρτηση βγαίνει συνεχής στο μηδέν. Ένας τρόπος συνοπτικά είναι ο εξής:
Έστω \varepsilon > 0. Τότε \exists n>0 :\delta = \frac{1}{n}<\varepsilon με \left | x \right |<\delta =\frac{1}{n}\Rightarrow -\frac{1}{n}<x<\frac{1}{n}\Rightarrow f(-\frac{1}{n})<f(x)<f(\frac{1}{n})\Rightarrow -\frac{1}{n}<f(x)<\frac{1}{n}\Rightarrow \left | f(x) \right |<\varepsilon.

Τώρα επειδή είπα ότι η άσκηση έχει τεθεί πριν από τη συνέχεια και ακόμη πριν από τα όρια, δίνω και τη δική μου απόδειξη πλήρη.

f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)\Rightarrow f(0)=2f(0)\Rightarrow f(0)=0

f(1)=f(1\cdot 1)=f(1)f(1)\Rightarrow (f(1))^{2}=f(1)\Rightarrow f(1)(f(1)-1)=0 απ΄όπου

α) f(1)=1
β) f(1)=0

α) 0=f(0)=f(1+(-1))=f(1)+f(-1)\Rightarrow f(-1)=-f(1) =-1

n\epsilon Z^{+}\Rightarrow f(n)=f(1+1+...+1)=f(1)+f(1)+...+f(1)=nf(1) =n

f(-n)=f(-1n)=f(-1)f(n)=-n και γενικότερα f(-x)=f(-1x)=f(-1)f(x)=-f(x)

1=f(1)=f(\frac{n}{n})=f(n)f(\frac{1}{n})=nf(\frac{1}{n})\Rightarrow f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n}

f(\frac{n}{m})=f(n\frac{1}{m})=f(n)f(\frac{1}{m})=n\frac{1}{m}=\frac{n}{m} Άρα f(q)=q \forall q\epsilon Q

x> 0\Rightarrow x=\sqrt{x}\sqrt{x}\Rightarrow f(x)=f(\sqrt{x})f(\sqrt{x})\geq 0 .Το "=" δεν ισχύει διότι τότε θα είχαμε το εξής άτοπο:

1=f(1)=f(\sqrt{x}\frac{1}{\sqrt{x}})=f(\sqrt{x})f(\frac{1}{\sqrt{x}})=0

Έστω τώρα x\epsilon R Αν f(x)\neq x πχ f(x)>x τότε \exists q \epsilon Q : f(x)>q>x \Rightarrow q-x>0\Rightarrow f(q-x)=f(q)-f(x)>0\Rightarrow q>f(x) άτοπο.

Άρα στην περίπτωση α) έχουμε μοναδική συνάρτηση την ταυτοτική f(x)=x

Στην περίπτωση β) είναι f(x)=f(1x)=f(1)f(x)=0f(x)=0 δηλαδή η σταθερή συνάρτηση μηδέν. Έτσι οι μόνες συναρτήσεις που ικανοποιούν τις σχέσεις μας είναι η μηδενική και η ταυτοτική.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες