Σημεία τομής

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1429
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Σημεία τομής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Οκτ 22, 2017 5:30 pm

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle f(x)=\frac{({{x}^{2}}-2x)(x-a)}{{{x}^{2}}-1},a\in R και η ευθεία με εξίσωση \displaystyle y=x+b.
α) Να δείξετε ότι αν \displaystyle |a|\,\ge 1 η ευθεία τέμνει τη \displaystyle {{C}_{f}}
β) Να βρείτε το \displaystyle b ώστε για δεδομένο \displaystyle a με \displaystyle |a|<1 η ευθεία να μην τέμνει τη \displaystyle {{C}_{f}}


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2825
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Σημεία τομής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Δεκ 28, 2017 12:49 pm

exdx έγραψε:
Κυρ Οκτ 22, 2017 5:30 pm
Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle f(x)=\frac{({{x}^{2}}-2x)(x-a)}{{{x}^{2}}-1},a\in R και η ευθεία με εξίσωση \displaystyle y=x+b.
α) Να δείξετε ότι αν \displaystyle |a|\,\ge 1 η ευθεία τέμνει τη \displaystyle {{C}_{f}}
β) Να βρείτε το \displaystyle b ώστε για δεδομένο \displaystyle a με \displaystyle |a|<1 η ευθεία να μην τέμνει τη \displaystyle {{C}_{f}}
Γιώργη καλημέρα και χρόνια πολλά.

1) Η συνάρτηση f είναι ορισμένη για x \neq 1,1.
Για κάθε \displaystyle{x \neq \pm 1} τα σημεία τομής της C_f με την ευθεία με εξίσωση y=x+b προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης:
\displaystyle{f(x)=x+b \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow (-a-b-2)x^2+(1+2a)x+b=0 (I)}.
* Αν -a-b-2 =0 \Leftrightarrow b=-a-2, έχουμε:
\displaystyle{(I)\Leftrightarrow (1+2a)x-a-2=0 \Leftrightarrow x=\frac{a+2}{1+2a}}, αφού \displaystyle{a\neq -\frac{1}{2}} δεδομένου ότι |a| \geq 1.

* Αν -a-b-2\neq 0 \Leftrightarrow b\neq-a-2, η εξίσωση (I) είναι δευτέρου βαθμού με διακρίνουσα:
\displaystyle{\Delta=(1+2a)^2-4b(-a-b-2)=...=4b^2+4(a+2)b+(2a+1)^2 (II).}
Το τριώνυμο \displaystyle{4x^2+4(a+2)x+(2a+1)^2} έχει διακρίνουσα
\displaystyle{\Delta_1=(4(a+2))^2-16(2a+1)^2=...=48(1-a)(1+a) \leq 0},
οπότε \displaystyle{(II) \Leftrightarrow \Delta \geq 0},
άρα η εξίσωση (I) έχει πάντα πραγματικές ρίζες, δηλαδή η C_f τέμνεται πάντα με την ευθεία με εξίσωση y=x+b όταν |a| \geq 1.

2) Έστω ότι: |a|<1.
* Αν -a-b-2\neq 0 έχουμε ότι \Delta_1>0, οπότε \displaystyle{\Delta=4(b-b_1)(b-b_2)}, όπου \displaystyle{b_{1,2}=\frac{-4(a+2) \pm \sqrt{\Delta_1}}{8}}.
Αφού θέλουμε η C_f να μην τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x+b, πρέπει η εξίσωση (I) να είναι αδύνατη, δηλαδή πρέπει \displaystyle{\Delta<0 \Leftrightarrow  \frac{-4(a+2)- \sqrt{\Delta_1}}{8}<b<\frac{-4(a+2) + \sqrt{\Delta_1}}{8} (IV)}.
Επομένως οποιοδήποτε b που ικανοποιεί την (IV) είναι απάντηση, για παράδειγμα \displaystyle{b=-\frac{a+2}{2}}.
* Αν -a-b-2=0 η εξίσωση (I) είναι πρώτου βαθμού και θέλουμε να μην έχει λύση οπότε πρέπει \displaystyle{1+2a=0 \Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}}.
τελευταία επεξεργασία από Πρωτοπαπάς Λευτέρης σε Παρ Δεκ 29, 2017 5:19 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2789
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σημεία τομής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Δεκ 29, 2017 2:22 am

exdx έγραψε:
Κυρ Οκτ 22, 2017 5:30 pm
Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle f(x)=\frac{({{x}^{2}}-2x)(x-a)}{{{x}^{2}}-1},a\in R και η ευθεία με εξίσωση \displaystyle y=x+b.
α) Να δείξετε ότι αν \displaystyle |a|\,\ge 1 η ευθεία τέμνει τη \displaystyle {{C}_{f}}
β) Να βρείτε το \displaystyle b ώστε για δεδομένο \displaystyle a με \displaystyle |a|<1 η ευθεία να μην τέμνει τη \displaystyle {{C}_{f}}
Γιώργη Χρόνια Πολλά.

Το πρώτο τουλάχιστον ερώτημα έχει πρόβλημα.

Συγκεκριμένα.

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το \mathbb{R}-\left \{ 1,-1 \right \}

Αν πάρουμε a=1,b=-3

με βάση την άσκηση πρέπει η ευθεία να έχει τομή με την \displaystyle {{C}_{f}}

Δηλαδή η εξίσωση \displaystyle \frac{({{x}^{2}}-2x)(x-1)}{{{x}^{2}}-1}=x-3

να έχει λύση διαφορετική των -1,1

Αν δεν έχω κάνει λάθος η εξίσωση είναι ισοδύναμη για x\neq 1,-1

με την 3x-3=0.

Αυτή όμως έχει λύση την x=1 που ήδη το έχουμε αποκλείσει.

Ακόμα και την απλοποίηση να κάνουμε και να θεωρήσουμε ότι η συνάρτηση για a=1 ορίζεται στο

1 τότε η εξίσωση γράφεται \dfrac{x^{2}-2x}{x+1}=x-3

που είναι αδύνατη.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες