Αρχιμήδης 2016-2017

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 521
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Αρχιμήδης 2016-2017

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Κυρ Ιαν 29, 2017 1:09 pm

Παιρνω την πρωτοβουλία να ανοίξουμε το θέμα αυτο ως συνέχεια αυτού.

Αν πιστεύετε πως δεν ειναι καλη ιδεα παρακαλω τους Γενικούς Συντονιστές να διαγράψουν το θέμα.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Κυρ Ιαν 29, 2017 1:47 pm

Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους 2n+1 όπου n θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν ABCD είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και S(n) είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου ABCD να βρεθεί το S(n) σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι S(1)=2+3+4+5=14.
Screenshot_1.png
Σχήμα
Screenshot_1.png (5.91 KiB) Προβλήθηκε 3496 φορές


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Κυρ Ιαν 29, 2017 2:10 pm

Άσκηση 2 Seniors
Αν για τα πολυώνυμα P(x)=ax^3+bx^2+cx+d και Q(x)=(a-b)x^3+(b-c)x^2+(c-d)x+d-a όπου a,b,c,d μη μηδενικοί πραγματικοί ισχύει ότι:
1)Τα πολυώνυμα μεταξύ τους έχουν ακριβώς 2 κοινές ρίζες.
2)Η γραφική παράσταση του κάθε πολυωνύμου τέμνει τον άξονα x'x σε ακριβώς 3 διαφορετικά σημεία
3)Αν r,s\in\mathbb{R} : P(r)=0 , Q(s)=0 , P(s)Q(r)\not=0 τότε s-r=5
Να βρεθούν τα δυνατά πολυώνυμα P(x),Q(x) συναρτήσει του a.


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Κυρ Ιαν 29, 2017 2:49 pm

Άσκηση 3 Juniors
Αν a,b,c θετικοί πραγματικοί αριθμοί να αποδείξετε την ανισότητα:
\frac{(a+b-c)^2}{a^2+3bc}+\frac{(b+c-a)^2}{b^2+3ca}+\frac{(c+a-b)^2}{c^2+3ab}\ge \frac{3}{4}
Πότε ισχύει η ισότητα;


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
thrassos
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 11, 2016 8:06 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thrassos » Κυρ Ιαν 29, 2017 3:02 pm

Καλησπέρα Γιάννη,
Αναφορικά με το πρόβλημα 3, από την ανισότητα Andreescu έχουμε ότι LHS \geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}
Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}\geq \frac{3}{4} το οποίο καταλήγει στην γνωστή ανισότητα (a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca) που ισχύει.
Φιλικά,
Θράσος


Θρασύβουλος Οικονόμου
Φοιτητής ΗΜΜΥ ΑΠΘ
Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Κυρ Ιαν 29, 2017 3:05 pm

Άσκηση 4 Seniors
Αν \displaystyle{\lfloor\sum_{k=1}^{100}\frac{(k+1)(k^3-2k+2)}{k(k+2)}\rfloor=l}.
Να λυθεί η εξίσωση a^3+b^3=l στους θετικούς ακεραίους όπου με
\lfloor x \rfloor συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος του x
τελευταία επεξεργασία από Γιάννης Μπόρμπας σε Τρί Ιαν 31, 2017 10:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Κυρ Ιαν 29, 2017 4:32 pm

Άσκηση 5 Juniors
Ένα τετράγωνο πλευράς 2n+1 διαιρείται σε (2n+1)^2 μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές του όπου n θετικός ακέραιος. 2 παίκτες παίζουν το εξής παιχνίδι.Ο παίκτης Α παίζει με τον αριθμό 2017 ενώ ο παίκτης Β με τον αριθμό 2 τους οποίους και θα χρησιμοποιούν στο παιχνίδι. Ο κάθε παίκτης στην σειρά του τοποθετεί τον αριθμό του σε ένα από τα μοναδιαία τετράγωνα της επιλογής του. Δεν επιτρέπεται να τοποθετηθεί αριθμός σε τετράγωνο που έχει ξανατοποθετηθεί αριθμός. Αν κάποιος παίκτης τοποθετήσει έναν αριθμό σε ένα τετράγωνο έτσι ώστε με την τοποθέτησή του να συμπληρώνεται μία ολόκληρη στήλη,σειρά η διαγώνιος (οποιαδήποτε διαγώνιος, για παράδειγμα τοποθετήσουμε το τετράγωνο σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων xOy με το (0,0) να είναι το κάτω αριστερά άκρο του τότε τα σημεία (1,0),(0,1) ορίζουν μια διαγώνιο όπως και τα (2,0),(1,1),(0,2)...) τότε εκτελούμε το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται σε αυτήν την στήλη, σειρά ή διαγώνιο. Αν το άθροισμα είναι πολλαπλάσιο του 3 τότε ο παίκτης που συμπλήρωσε την στήλη, σειρά ή διαγώνιο χάνει. Διαφορετικά το παιχνίδι συνεχίζεται. Αν συμπληρωθεί ο πίνακας χωρίς να έχει χάσει κάποιος, κερδίζει ο παίκτης που έπαιξε πρώτος μιας και κινδύνευσε μία παραπάνω φορά. Να αποδείξετε πως ο παίκτης που παίζει πρώτος έχει στρατηγική νίκης.


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 213
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Ιαν 29, 2017 6:34 pm

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους 2n+1 όπου n θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν ABCD είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και S(n) είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου ABCD να βρεθεί το S(n) σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι S(1)=2+3+4+5=14.Screenshot_1.png
υπαρχει καποια λυση στο προβλημα ?


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 782
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Ιαν 29, 2017 6:50 pm

mikemoke έγραψε:
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους 2n+1 όπου n θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν ABCD είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και S(n) είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου ABCD να βρεθεί το S(n) σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι S(1)=2+3+4+5=14.Screenshot_1.png
υπαρχει καποια λυση στο προβλημα ?
Ναι.

Έχω βρει έναν τύπο, αλλά δυσκολεύομαι να τον κάνω τελείως κλειστό, παρόλο που πιστεύω πως γίνεται.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Κυρ Ιαν 29, 2017 7:08 pm

mikemoke έγραψε:
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους 2n+1 όπου n θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν ABCD είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και S(n) είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου ABCD να βρεθεί το S(n) σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι S(1)=2+3+4+5=14.Screenshot_1.png
υπαρχει καποια λυση στο προβλημα ?
Όλα τα παραπάνω προβλήματα που έχω φτιάξει έχουν λύση.


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 213
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Ιαν 29, 2017 10:36 pm

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους 2n+1 όπου n θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν ABCD είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και S(n) είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου ABCD να βρεθεί το S(n) σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι S(1)=2+3+4+5=14.Screenshot_1.png
η σκαλα ειναι 2n+1 διαστασεων οπου n εΖ αρα το max τετραγωνο ειναι n+1 διαστασεων
εστω m το μεσο σκαλοπατι (το δεξι ακρο του n+1 τετραγωνου) m=1+2+3+...+n+1
αθροιζω ολουσ τουσ ορουσ κατω απτο μ και επαναλαμβανω την διαδικασια για m-1, m-2 ,..,m-n (προσθετω ολεσ τισ κατακορυφεσ στηλεσ του τmax)
Eτσι εχω
m +  n+1+m  +  2(n+1)+1+m  +  3(n+1)+3+m  +  ...  +  n(n+1)+a+m οπου a =1+2+3+...n-2
m-1 +  n+1+m-1  +  2(n+1)+1+m-1  +  3(n+1)+3+m-1  +  ...  +  n(n+1)+a+m-1
.
.
.
m-n +  n+1+m-n  +  2(n+1)+1+m-n  +  3(n+1)+3+m-n  +  ...  +  n(n+1)+a+m-n

Αρα αθροιζοντασ τα παραπανω εχω (n+1)[(n+1)m-(1+2+3+...+n)]    +    (n+1)[n+1+2(n+1)+3(n+1)+...+n(n+1) + 1+3+..+a] = 
 (n+1)[(n+1)m-(1+2+3+...+n)  +  (n+1)(1+2+3+...+n)   +1+3+6+10+...+a]  =  (n+1)[(n+1)m + n(1+2+3+...+n) +  1  +  1+2  +  1+2+3  +....+1+2+3+...+n-2]
τι λετε ωσ εδω?
τελευταία επεξεργασία από mikemoke σε Δευ Ιαν 30, 2017 12:26 pm, έχει επεξεργασθεί 5 φορές συνολικά.


JimNt.
Δημοσιεύσεις: 540
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Κυρ Ιαν 29, 2017 11:03 pm

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους 2n+1 όπου n θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν ABCD είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και S(n) είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου ABCD να βρεθεί το S(n) σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι S(1)=2+3+4+5=14.Screenshot_1.png
Ας θέσω και ένα ερώτημα για Juniors με βάση το παραπάνω (αν μου το επιτρέπει ο θεματοδότης). Άσκηση 6 Juniors Να βρείτε ποιος αριθμός βρίσκεται στην n-οστή γραμμή και στο m-oστό σκαλί (τετράγωνο). (Ας αφεθεί για τα καινούργια μέλη μας. )Y.Σ (Η λύση της άσκησης αυτής αποτελεί το πρώτο βήμα για την λύση της αρχικής)


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 540
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Δευ Ιαν 30, 2017 12:36 am

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους 2n+1 όπου n θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν ABCD είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και S(n) είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου ABCD να βρεθεί το S(n) σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι S(1)=2+3+4+5=14.Screenshot_1.png
Ο ζητούμενος τύπος είναι S=\boxed{\frac{(n+1)^2n(7n+5)}{6}+\frac{(n+1)^2(n+2)}{2}} :D


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Δευ Ιαν 30, 2017 12:51 pm

Ας δώσω μία αναλυτική λύση για την Άσκηση 1
Έστω a_{i} ο αριθμός που βρίσκεται στην i σειρά και στην πρώτη στήλη με 2n+1\ge i\ge 1 και a_{1}=1
Τότε παρατηρούμε ότι: a_{k+1}-a_{k}=k. Άρα \displaystyle{\sum_{k=1}^{i}a_{k+1}-a_{k}}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{i}k} όπου προκύπτει:
\displaystyle{a_{i}=\frac{i^2-i+2}{2}}. Το ABCD περιέχει πάνω-αριστερά τον αριθμό a_{n+1} και κάτω-αριστερά τον
αριθμό a_{2n+1}. Οπότε το άθροισμα των αριθμών της πρώτης στήλης από τον a_{n+1} μέχρι και τον
a_{2n+1} είναι:S=\displaystyle{\sum_{i=n+1}^{2n+1}a_{i}=\sum_{i=n+1}^{2n+1}\frac{i^2-i+2}{2}}= 
\displaystyle{\frac{1}{2}\left(\sum_{i=n+1}^{2n+1}i^2-\sum_{i=n+1}^{2n+1}i+\sum_{i=n+1}^{2n+1}2\right)}= 
\displaystyle{\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{2n+1}i^2-\sum_{i=1}^{n}i^2-\sum_{i=n+1}^{2n+1}i+ 
\sum_{i=n+1}^{2n+1}2\right)}=...= 
\frac{7n^3+12n^2+11n+6}{6}.
Τέλος εύκολα μπορεί να παρατηρήσει κάποιος πως το ζητούμενο άθροισμα με την
βοήθεια του S μπορεί να εκφραστεί ως εξής:S(n)=(n+1)S+(n+1)\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k}=\frac{(n+1)^2(7n^2+8n+6)}{6}.
τελευταία επεξεργασία από Γιάννης Μπόρμπας σε Τρί Ιαν 31, 2017 10:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
WLOG
Δημοσιεύσεις: 26
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2016 5:07 pm

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από WLOG » Δευ Ιαν 30, 2017 1:08 pm

Άσκηση 6 (Seniors)

Αν \displaystyle{P(x), Q(x), R(x), S(x)} είναι πολυώνυμα έτσι ώστε:

\displaystyle{P(x^{5}) + xQ(x^{5}) + x^{2}R(x^{5}) = (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)S(x)}

Να δείξετε ότι το \displaystyle{x-1} διαιρεί το \displaystyle{P(x).}
τελευταία επεξεργασία από matha σε Δευ Ιαν 30, 2017 1:44 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση LaTeX.


Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Δευ Ιαν 30, 2017 1:13 pm

Άσκηση 7 Juniors
1) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: x^{10}-x^8+x^7-x^4+x^3+(x-1)^2
2) Να βρεθεί ένας πρώτος διαιρέτης του αριθμού:A=9909991081


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 521
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Δευ Ιαν 30, 2017 1:30 pm

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 7 Juniors
1) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: x^{10}-x^8+x^7-x^4+x^3+(x-1)^2
1) x^7(x^3-x+1)-x(x^3-x+1)+x^3-x+1=(x^3-x+1)(x^7-x+1)


Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Δευ Ιαν 30, 2017 3:18 pm

Άσκηση 8 Juniors
Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους η εξίσωση: 2a^2+ab+3a=b^2+12


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Δευ Ιαν 30, 2017 3:31 pm

Άσκηση 9 Seniors
Η ακολουθία a_{n} , n\ge 1 ορίζεται από την σχέση:
na_{n}+3=3n+a_{n+1} με a_{1}=4.
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι c που είναι τέτοιοι ώστε:
Αν p\in\mathbb{P} και p|c τότε p|a_{c}


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 213
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Δευ Ιαν 30, 2017 3:38 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Παιρνω την πρωτοβουλία να ανοίξουμε το θέμα αυτο ως συνέχεια αυτού.

Αν πιστεύετε πως δεν ειναι καλη ιδεα παρακαλω τους Γενικούς Συντονιστές να διαγράψουν το θέμα.
Ποσεσ ειναι οι δυνατεσ συνδεσμολογιεσ για n ομοιουσ αντιστατες (οι αντιστατεσ μπορουν να συδεθουν σε σειρα και παραλληλα)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης