Λογαριθμική

erxmer · #1

Δίνεται συνάρτηση $f(x)=(lnx)^2+ln \frac{1}{x}$

1) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

2) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της

με τους άξονες

3) Να βρείτε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης f(cosx)=0

που ανήκουν στο διάστημα $[0,2017 \pi]$

4) Να αποδείξετε ότι αν ισχύει $f(a)=f(b), a \neq b$ τότε ab=e

Tolaso J Kos · #2

erxmer έγραψε:Δίνεται συνάρτηση $f(x)=(lnx)^2+ln \frac{1}{x}$

1) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

2) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της με τους άξονες

3) Να βρείτε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $[0,2017 \pi]$

4) Να αποδείξετε ότι αν ισχύει $f(a)=f(b), a \neq b$ τότε

(α) Καταρχάς πρέπει x>0

και $\frac{1}{x}>0$ . Σε κάθε περίπτωση θα είναι x>0

. Άρα το πεδίο ορισμού θα είναι το $(0, +\infty)$ .

(β) Η

γράφεται ως εξής:
$\displaystyle{f(x) = \ln^2 x - \ln x}$ Για τα σημεία τομής με τον άξονα x'x

θα λύσουμε την εξίσωση f(x)=0

. Τότε
$\displaystyle{\begin{aligned} f(x)=0 &\Leftrightarrow \ln^2 x - \ln x =0 \\ &\!\!\!\!\!\!\overset{u=\ln x}{\Leftarrow \! =\! =\! =\! \Rightarrow} u^2 - u =0\\ &\Leftrightarrow u (u-1) =0 \\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u=0 & \\ u=1& \end{matrix}\right. \end{aligned}}$ Οπότε αν u=0

τότε

ενώ αν

τότε

. Άρα η γραφική παράσταση της

τέμνει τον άξονα x'x

στα σημεία με τετμημένες $x=1, \; x=e$ .

Δε τέμνει τον άξονα y'y

αφού το

δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της

.

(γ) Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι της μορφής $x=2\pi n$ . Όμως θέλουμε οι ρίζες να ανήκουν στο διάστημα $[0, 2017 \pi]$ . Οπότε
$\displaystyle{0 \leq x \leq 2017 \pi \Leftrightarrow 0 \leq 2 n \pi \leq 2017 \pi \Rightarrow 0 \leq 2 n \leq 2017 \Rightarrow 0 \leq n \leq 1008}$ Οπότε αν $x_n , \; n =0 , 1, \dots, 1008$ είναι οι ρίζες τότε το άθροισμά τους δίδεται από τον τύπο
$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{S} &=\sum_{n=1}^{1008} x_n \\ &= \sum_{n=1}^{1008} 2 \pi n\\ &= 1017072 \pi \end{aligned}}$ Ελπίζω να μην έκανα κάποιο σφάλμα εδώ.

(δ) Εφόσον $f(a)=f(\beta)$ και $a \neq \beta$ τότε:
$\displaystyle{\begin{aligned} f(a) = f(\beta) &\Leftrightarrow \ln^2 a - \ln a = \ln^2 \beta - \ln \beta \\ &\Leftrightarrow \ln^2 a - \ln^2 \beta = \ln a - \ln \beta\\ &\Leftrightarrow \cancel{\left ( \ln a - \ln \beta \right )} \left ( \ln a + \ln \beta \right ) = \cancel{\ln a - \ln \beta} \\ &\Leftrightarrow \ln a + \ln \beta = 1 \\ &\Leftrightarrow \ln (a \beta) = \ln e \\ &\Leftrightarrow a \beta =e \end{aligned}}$ δηλ. το ζητούμενο.

Λογαριθμική

Λογαριθμική

Re: Λογαριθμική

Μέλη σε σύνδεση