Θεώρημα Neuberg.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: Θεώρημα Neuberg.png (12.54 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

και το μέσο

της

. Στις πλευρές του AB, BC

και έξω από το $\triangle ABC$ , κατασκευάζω τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα APB, BQC

.
Δείξτε ότι και το τρίγωνο PMQ

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Θεώρημα Neuberg.png
Δίνεται τρίγωνο και το μέσο της . Στις πλευρές του
και έξω από το $\triangle ABC$ , κατασκευάζω τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα .
Δείξτε ότι και το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Καλησπέρα!

: Neuberg.png (24.53 KiB) Προβλήθηκε 743 φορές

Κατασκευάζω τα τετράγωνα ABEZ, ACHF.

Από το θεώρημα του Vecten

οι

είναι ίσες και κάθετες και το ζητούμενο έπεται.

Φανης Θεοφανιδης · #3

Και ένα πιο δύσκολο ερώτημα: Πότε ξεκουράζεται ο george visvikis ;

#4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Και ένα πιο δύσκολο ερώτημα: Πότε ξεκουράζεται ο george visvikis ;

Ποτέ!

Όσο για την άσκηση την θυμάμαι από τότε που την κάναμε στο φροντιστήριο. Είχε μπει στο Πολυτεχνείο το 1971

(ένα χρόνο πριν δώσω εισαγωγικές). Υπάρχει εδώ. Έχω και λύση με ισότητα τριγώνων. Θα τη δώσω αργότερα αν δεν απαντηθεί.

STOPJOHN · #5

Καλημέρα Φάνη και Γιώργο ,πριν γράψω τη λύση, μια απάντηση για τον Γιώργο .
Ο Γιώργος δεν κουράζεται ποτέ γιατί έχει την ψυχή του πρωταθλητή και του εύχομαι να συνεχίσει στον ίδιο ρυθμό,..................

Γιάννης

KARKAR · #6

: Χαλκέντερος Βισβίκης.png (22.12 KiB) Προβλήθηκε 678 φορές

Δες τε την ισότητα των τριγώνων PLM , MNQ

. Η ορθότητα της $\widehat{PMQ}$ , θέλει λίγη σκέψη ...

STOPJOHN · #7

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Θεώρημα Neuberg.png
Δίνεται τρίγωνο και το μέσο της . Στις πλευρές του
και έξω από το $\triangle ABC$ , κατασκευάζω τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα .
Δείξτε ότι και το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Ειναι $PK=OM=KB,MK=OB=OQ,\hat{PKM}=\hat{MOB}=90+\hat{B}$
Αρα τα τρίγωνα PKM,MOQ

είναι ίσα και $MQ=MP,\hat{PMQ}=\hat{KMO}+\hat{PMK}+\hat{OMQ}=90,180=B+90+\hat{KPM}+\hat{OQM}$

Γιάννης

mikemoke · #8

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Θεώρημα Neuberg.png
Δίνεται τρίγωνο και το μέσο της . Στις πλευρές του
και έξω από το $\triangle ABC$ , κατασκευάζω τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα .
Δείξτε ότι και το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

γεια σασ
ποια ειναι η εξισωση τησ διαδρομησ των P ,Q καθως το Β κινειται πανω σε μια τυχαια ευθεια?..Α,Β σταθερα

Μιχάλης Τσουρακάκης · #9

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Θεώρημα Neuberg.png
Δίνεται τρίγωνο και το μέσο της . Στις πλευρές του
και έξω από το $\triangle ABC$ , κατασκευάζω τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα .
Δείξτε ότι και το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Άλλη μια λύση

Με $\displaystyle{S}$ συμμετρικό του $\displaystyle{P}$ ως προς $\displaystyle{M}$ $\displaystyle{ \Rightarrow PBSC}$ παραλ/μμο $\displaystyle{ \Rightarrow PB = CS}$ και $\displaystyle{\theta = \phi = \angle {45^0} + B}$

Έτσι η μη κυρτή γωνία $\displaystyle{QCS = {45^0} + B + C + {45^0} = {90^0} + B + C}$ $\displaystyle{ \Rightarrow }$ κυρτή $\displaystyle{\angle QCS = {360^0} - {90^0} - B - C = {90^0} + A}$ =κυρτή $\displaystyle{\angle PAQ}$

Τότε όμως $\displaystyle{\vartriangle PAQ = \vartriangle QCS \Rightarrow \boxed{PQ = QS}}$ και $\displaystyle{\boxed{x = y}}$ .

Αλλά $\displaystyle{x + \angle PQC = {90^0} \Rightarrow y + \angle PQC = \angle PQS = {90^0}}$ άρα $\displaystyle{\vartriangle PQS}$ ορθογώνιο-ισοσκελές ,συνεπώς $\displaystyle{QM \bot PS}$ και $\displaystyle{\boxed{QM = MP}}$

: O-I.png (21.61 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Θεώρημα Neuberg.

Θεώρημα Neuberg.

Re: Θεώρημα Neuberg.

Re: Θεώρημα Neuberg.

Re: Θεώρημα Neuberg.

Re: Θεώρημα Neuberg.

Re: Θεώρημα Neuberg.

Re: Θεώρημα Neuberg.

Re: Θεώρημα Neuberg.

Re: Θεώρημα Neuberg.

Μέλη σε σύνδεση