Εικασία για σπάνια χορδή

[KARKAR]

Σπάνια χορδή.png (11.66 KiB) Προβλήθηκε 862 φορές

Πάνω τη διάμετρο ενός κύκλου , βρίσκονται τα σταθερά σημεία . Σημείο

κινείται στο βόρειο ημικύκλιο και οι ξανατέμνουν τον κύκλο στα σημεία .

Αναζητούμε το μέγιστο της . α) Εικασία : το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν .

β) Άσχετα από την ισχύ ή όχι της εικασίας , πως θα επιλέξουμε το , ώστε : ;

Ο κύκλος του σχήματος έχει ακτίνα και τα σταθερά σημεία , είναι τα και

[george visvikis]

Σπάνια χορδή.pngΠάνω τη διάμετρο ενός κύκλου , βρίσκονται τα σταθερά σημεία . Σημείο

κινείται στο βόρειο ημικύκλιο και οι ξανατέμνουν τον κύκλο στα σημεία .

Αναζητούμε το μέγιστο της . α) Εικασία : το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν .

β) Άσχετα από την ισχύ ή όχι της εικασίας , πως θα επιλέξουμε το , ώστε : ;

Ο κύκλος του σχήματος έχει ακτίνα και τα σταθερά σημεία , είναι τα και

Καλημέρα!

Για το β) ερώτημα, το είναι το σημείο επαφής του κύκλου με τον κύκλο που διέρχεται από τα και εφάπτεται εσωτερικά σε αυτόν.

Εικασία για σπάνια χορδή.png (21.86 KiB) Προβλήθηκε 830 φορές

Κατασκευή: Κατασκευάζω τυχαίο κύκλο που διέρχεται από τα και τέμνει τον κύκλο στα Η τέμνει την

προέκταση της στο . Από το φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα του κύκλου . Το είναι το ζητούμενο σημείο.

Απόδειξη: Γράφω τον περιγεγραμμένο κύκλο του Είναι: , άρα η

εφάπτεται και στον κύκλο , οπότε οι πράσινες γωνίες του σχήματος είναι ίσες μεταξύ τους και κατά συνέπεια

Όσο για την εικασία...βλέπουμε.

[george visvikis]

Για το α)

Εικασία για σπάνια χορδή.α.png (19.38 KiB) Προβλήθηκε 811 φορές

Έστω και μία χορδή που αντιστοιχεί στο σημείο . Επειδή ο κύκλος εφάπτεται του ,

το είναι εξωτερικό σημείο του , άρα . Επομένως η εικασία αληθεύει.

(Αγνοήστε το σημείο Παρέμεινε στο σχήμα κατά λάθος).