Μια ιδιότητα τετραπλεύρου με κάθετες διαγωνίους

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Μια ιδιότητα τετραπλεύρου με κάθετες διαγωνίους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Οκτ 21, 2016 4:21 pm

Μια ιδιότητα τετραπλεύρου με κάθετες διαγώνιες..png
Μια ιδιότητα τετραπλεύρου με κάθετες διαγώνιες..png (40.35 KiB) Προβλήθηκε 539 φορές
Έστω P το σημείο τομής των διαγωνίων AC,BD τετραπλεύρου ABCD με AC\bot BD. Αν K,L είναι τα σημεία τομής τυχούσας ευθείας \left( \varepsilon  \right)\bot PZ ,

όπου Z\equiv AD\cap BC , με τις AC,BD αντίστοιχα να δειχθεί ότι: PM\bot PE , όπου M το μέσο του τμήματος KL και E\equiv AB\cap DC
.

Υ.Σ. Άλλαξα λίγο το σχήμα γιατί φαινόταν το κλειδί της λύσης ;)


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
giannimani
Δημοσιεύσεις: 116
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μια ιδιότητα τετραπλεύρου με κάθετες διαγωνίους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Παρ Οκτ 21, 2016 8:28 pm

diag.png
diag.png (67.43 KiB) Προβλήθηκε 525 φορές
Έστω F=(ZP) \cap (AB). Τότε, (BAEF)=-1, οπότε και P(BAEF)=-1, και εφόσον οι συζυγείς ακτίνες PA, PB είναι κάθετες, τότε είναι οι διχοτόμοι των γωνιών που σχηματίζουν οι δύο άλλες ακτίνες PE, PF, δηλαδή,
\angle{EPB}=\angle{FPB}.
Όμως, από το ορθογώνιο τρίγωνο LPK έχουμε
\angle{FPB}=\angle{NPL}=\angle{LKP}.
Ως εκ τούτου, \angle{EPB}=\angle{EPL}=\angle{LKP}, δηλαδή, η EP εφαπτομένη του κύκλου διαμέτρου KL, και επομένως, EP \bot PM.


ΥΓ1. κ. Κούτρα, συγγνώμη, αλλά το σημαδάκι το είδα!

ΥΓ2. Ζητώ επίσης συγγνώμη για το σύντομο της λύσης.
Έχω χρησιμοποιήσει τις εξής δύο βοηθητικές προτάσεις:
1) Στο \triangle{ABZ} οι AC, BD, ZF συντρέχουν στο σημείο P. Επομένως, (BAEF)=-1
Ισχύει και το αντίστροφο.
2) Αν δύο συζυγείς ακτίνες µίας αρµονικής δέσµης είναι κάθετες, τότε αυτές είναι οι
διχοτόµοι των γωνιών που σχηµατίζουν οι δύο άλλες ακτίνες της δέσµης.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες