Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1228
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από m.pαpαgrigorakis » Κυρ Σεπ 06, 2015 12:04 am

Ανέβασα εδώ: http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=776

μια συλλογή ασκήσεων - σε όλα τα κεφάλαια - της Γεωμετρίας της Α Λυκείου, για το σχ. έτος 2015 2016

Τη συλλογή θα βρείτε και εδώ: http://users.sch.gr/mipapagr

Μίλτος Π.


Συλλογές για το 2015 2016 που έχουν ήδη ανέβει:

Γ ΓΕΛ Μαθηματικά προσανατολισμού Α μέρος (Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια) : viewtopic.php?f=52&t=50336

Γ ΓΕΛ Μαθηματικά προσανατολισμού Β μέρος (Διαφορικός Λογισμός) : viewtopic.php?f=53&t=50417

Γ ΓΕΛ Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής: viewtopic.php?f=18&t=50579

Β ΓΕΛ Άλγεβρα: viewtopic.php?f=21&t=50481

Α ΓΕΛ Άλγεβρα: viewtopic.php?f=19&t=50662

Β ΓΕΛ Μαθηματικά Προσανατολισμού: viewtopic.php?f=23&t=50793

Α ΓΕΛ Γεωμετρία: viewtopic.php?f=20&t=50868


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Σεπ 06, 2015 1:05 pm

Καλημέρα.

ΑΣΚΗΣΗ 6.12

Αρκεί να δείξουμε ότι \hat{M_{1}}=\hat{N_{1}}.
Το τρίγωνο \Delta BM είναι ισοσκελές. Άρα \hat{M_{1}}=\hat{\Delta _{1}}.
Το τρίγωνο N\Gamma A είναι ισοσκελές. Άρα \hat{N_{1}}=\hat{A_{1}}.
Από τα άνω τρίγωνα αντίστοιχα έχουμε
\hat{B_{1}}=180^{0}-2\hat{M_{1}} (1)
\hat{\Gamma _{1}}=180^{0}-2\hat{N_{1}} (2).
Όμως \hat{B_{1}}=\hat{\Gamma _{1}} (3) (ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο \Delta A).
Από τις (1), (2), (3) προκύπτει ότι \hat{M_{1}}=\hat{N_{1}}.

Για το δεύτερο ερώτημα δίνω μόνο υπόδειξη (Είναι εύκολο).
Αρκεί να δείξετε ότι\hat{NM\Delta }+\hat{\Delta MA}+\hat{AB\Delta }+\hat{\Delta B\Gamma }=180^{0}.
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ  6.12.png
ΑΣΚΗΣΗ 6.12.png (11.55 KiB) Προβλήθηκε 5948 φορές
τελευταία επεξεργασία από Φανης Θεοφανιδης σε Κυρ Μαρ 27, 2016 6:30 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Σεπ 06, 2015 2:44 pm

ΑΣΚΗΣΗ 6.19

Α)\hat{A_{1}}=\hat{B_{1}} (βαίνουν στο ίδιο τόξο E\Gamma )
\hat{A_{2}}=\hat{\Gamma _{1}} (βαίνουν στο ίδιο τόξο BE)
Όμως A\Delta διχοτόμος της \hat{A}.
Άρα \hat{A_{1}}=\hat{A_{2}}\Rightarrow \hat{B_{1}}=\hat{\Gamma _{1}}\Rightarrow
\Rightarrow το τρίγωνο BE\Gamma είναι ισοσκελές.

B) Στο τρίγωνο BA\Theta η AZ είναι διχοτόμος και ύψος, άρα το τρίγωνο BA\Theta
είναι ισοσκελές με AB=A\Theta .

Γ)Z, H μέσα των B\Theta , B\Gamma αντίστοιχα.
Συνεπώς ZH\parallel \Theta \Gamma \Rightarrow ZH\parallel A\Gamma .

Δ)ZH=\dfrac{\Theta \Gamma }{2}=\dfrac{A\Gamma -A\Theta }{2}=\dfrac{A\Gamma -AB}{2}.
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ  6.19.png
ΑΣΚΗΣΗ 6.19.png (15.8 KiB) Προβλήθηκε 5922 φορές


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Σεπ 06, 2015 10:01 pm

ΑΣΚΗΣΗ 6.13

Η K\Delta είναι μεσοκάθετος του AB.
Η προέκτασή της τέμνει το τόξο AB σε ένα σημείο, έστω M το οποίο είναι το μέσο του.
Η \hat{K_{1}} είναι επίκεντρη που βαίνει στο τόξο MB=\dfrac{AB}{2}.
Η \hat{\Gamma _{1}} είναι εγγεγραμμένη που βαίνει στο τόξο AB.
Από την σχέση εγγεγραμμένης-επίκεντρης έχουμε ότι \hat{\Gamma _{1}}=\hat{K_{1}}.
Συνεπώς τα B, K, E, \Gamma είναι ομοκυκλικά σημεία.
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ  6.13.png
ΑΣΚΗΣΗ 6.13.png (21.98 KiB) Προβλήθηκε 5855 φορές


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Οκτ 11, 2015 7:27 pm

ΑΣΚΗΣΗ 5.34

1) Προεκτείνω την \Gamma H, και έστω ότι τέμνει την AB στο M.
Είναι \hat{H_{1}}=30^{0}+40^{0} (ως εξωτερική γωνία του τριγώνου BH\Gamma)\Rightarrow
\Rightarrow \hat{H_{1}}=70^{0}.
Από το τρίγωνο BMH έχουμε ότι \hat{BMH}+20^{0}+\hat{H_{1}}=180^{0}\Rightarrow
\Rightarrow \hat{BMH}=90^{0}.

2) Προφανώς το H είναι ορθόκεντρο του τριγώνου AB\Gamma .
Άρα εάν προεκτείνω την BH και υποθέσουμε ότι αυτή τέμνει την A\Gamma
στο N, τότε \hat{\Gamma NH}=90^{0}.
Επίσης \hat{H_{2}}=\hat{H_{1}}=70^{0} (ως κατακορυφήν).
Από το τρίγωνο \Gamma NH έχουμε X+\hat{\Gamma NH}+\hat{H_{2}}=180^{0}\Rightarrow X=20^{0}.
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ  5.34.png
ΑΣΚΗΣΗ 5.34.png (16.64 KiB) Προβλήθηκε 5751 φορές


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Οκτ 11, 2015 8:42 pm

ΑΣΚΗΣΗ 5.33

Φέρνω την \Lambda \Gamma και την KM\perp \Lambda \Gamma.
Το τετράπλευρο KM\Gamma B είναι ορθογώνιο.
Συνεπώς M\Gamma =KB\Rightarrow M\Gamma =R\Rightarrow M\Lambda =2R.
Όμως \Lambda K=4R.
Άρα M\Lambda =\dfrac{\Lambda K}{2}.
Επομένως για το ορθογώνιο τρίγωνο \Lambda MK ισχύει ότι \hat{\Lambda KM}=30^{0}.
Οπότε \hat{\Lambda KB}=\hat{\Lambda KM}+\hat{MKB}\Rightarrow \hat{\Lambda KB}=30^{0}+90^{0}\Rightarrow
\Rightarrow \hat{\Lambda KB}=120^{0}.
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ  5.33.png
ΑΣΚΗΣΗ 5.33.png (13.42 KiB) Προβλήθηκε 5716 φορές


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Παρ Οκτ 16, 2015 8:08 pm

ΑΣΚΗΣΗ 6.22

1)\hat{Z_{1}}=\hat{Z_{2}} (ως κατακορυφήν).
\hat{Z_{2}}=\hat{A_{1}} (αφού βαίνουν στο τόξο \Gamma B).
Άρα \hat{A_{1}}=\hat{Z_{1}}.
2)\hat{A_{1}}=\hat{E_{1}} (A\Delta EB εγγεγραμμένο).
Όμως \hat{A_{1}}=\hat{Z_{2}}\Rightarrow \hat{E_{1}}=\hat{Z_{2}}\Rightarrow
\Rightarrow ZBEH εγγράψιμο (αφού η εξωτερική του \hat{Z_{2}} είναι ίση
με την απέναντι εσωτερική του \hat{E_{1}}).
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ  6.22.png
ΑΣΚΗΣΗ 6.22.png (22.53 KiB) Προβλήθηκε 5603 φορές


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Παρ Οκτ 16, 2015 8:45 pm

ΑΣΚΗΣΗ 6.27

1)Αφού \hat{ABZ}=90^{0}\Rightarrow η \hat{ABZ} βαίνει σε ημικύκλιο \Rightarrow
\Rightarrow AZ διάμετρος του κύκλου.
2)Είναι \hat{A\Gamma Z}=90^{0} (AZ διάμετρος).
Οπότε Z\Gamma \perp A\Gamma, B\Delta \perp A\Gamma .
Άρα BH\parallel Z\Gamma .
Επίσης \Gamma E\perp AB, ZB\perp AB.
Άρα \Gamma H\parallel ZB.
Συνεπώς BH\Gamma Z παραλληλόγραμμο.
3) Από το τρίγωνο ABZ έχουμε ότι O μέσο του AZ και M μέσο του AB.
Επομένως OM=\dfrac{ZB}{2}\Rightarrow OM=\dfrac{\Gamma H}{2} (BH\Gamma Z παραλληλόγραμμο).
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ  6.27.png
ΑΣΚΗΣΗ 6.27.png (22.56 KiB) Προβλήθηκε 5582 φορές


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Παρ Οκτ 16, 2015 9:10 pm

ΑΣΚΗΣΗ 6.26

1)Για κάθε τρίγωνο AB\Gamma ισχύει \hat{A}+\hat{B}+\hat{\Gamma }=180^{0}\Rightarrow
\Rightarrow 3\hat{\Gamma }+2\hat{\Gamma }+\hat{\Gamma }=180^{0}\Rightarrow \hat{\Gamma }=30^{0}.
Οπότε \hat{A}=90^{0}, \hat{B}=60^{0}.
2) i)Από το ορθογώνιο τρίγωνο A\Delta B έχουμε ότι \hat{A_{1}}=30^{0}.
Από το ισοσκελές τρίγωνο AM\Gamma έχουμε ότι \hat{A_{2}}=30^{0}.
Όμως \hat{A_{1}}+\hat{\Delta AM}+\hat{A_{2}}=90^{0}\Rightarrow \hat{\Delta AM}=30^{0}.
ii)Το τρίγωνο AMB είναι ισόπλευρο. Συνεπώς A\Delta διάμεσος.
Οπότε B\Delta =\dfrac{MB}{2}\Rightarrow B\Delta =\dfrac{B\Gamma }{4}.
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ  6.26.png
ΑΣΚΗΣΗ 6.26.png (6.98 KiB) Προβλήθηκε 5568 φορές


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Σάβ Οκτ 17, 2015 9:50 pm

ΑΣΚΗΣΗ 5.29

Έστω N το μέσο του A\Gamma . Είναι AN=N\Gamma \Rightarrow A\Delta +\Delta N=NE+E\Gamma \Rightarrow
\Rightarrow \Delta N=NE\Rightarrow N μέσο και του \Delta E.
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότιMN=\dfrac{\Delta E}{2}.
Ισχύει MN=\dfrac{AB}{2}\Rightarrow MN=\dfrac{\dfrac{A\Gamma }{3}}{2}\Rightarrow MN=\dfrac{\dfrac{3\Delta E}{3}}{2}\Rightarrow
\Rightarrow MN=\dfrac{\Delta E}{2}.
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ  5.29.png
ΑΣΚΗΣΗ 5.29.png (3.04 KiB) Προβλήθηκε 5505 φορές


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Οκτ 25, 2015 4:36 pm

ΑΣΚΗΣΗ 5.36

Στο ορθογώνιο τρίγωνο AE\Gamma ισχύει ME=\dfrac{A\Gamma }{2}.
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \Gamma \Delta A ισχύει M\Delta =\dfrac{A\Gamma }{2}.
Άρα ME=M\Delta .
Είναι \hat{BA\Delta }=\hat{B\Gamma E}=45^{0}.
Από το τρίγωνο AB\Gamma έχουμε \hat{A_{1}}+\hat{\Gamma _{1}}=45^{0}.
Από το ισοσκελές τρίγωνο AME έχουμε \hat{M_{1}}=180^{0}-2(45^{0}+\hat{A_{1}}).
Από το ισοσκελές τρίγωνο \Delta M\Gamma έχουμε \hat{M_{2}}=180^{0}-2(45^{0}+\hat{\Gamma _{1}}).
Όμως \hat{M_{1}}+\hat{EM\Delta }+\hat{M_{2}}=180^{0}\Rightarrow \hat{EM\Delta }=90^{0}.
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ  5.36.png
ΑΣΚΗΣΗ 5.36.png (11.81 KiB) Προβλήθηκε 5404 φορές


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Νοέμ 22, 2015 9:10 pm

ΑΣΚΗΣΗ 4.20

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι \hat{\Gamma _{1}}=\hat{B_{1}}=\hat{H_{1}}=45^{0}.
Από τα ισοσκελή και ορθογώνια τρίγωνα \Gamma EA, BEH έχουμε \Gamma E=AE, BE=EH.
Συνεπώς τα ορθογώνια τρίγωνα BE\Gamma, HEA είναι ίσα. Άρα AH=B\Gamma.
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ  4.20.png
ΑΣΚΗΣΗ 4.20.png (9.5 KiB) Προβλήθηκε 5304 φορές


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Νοέμ 22, 2015 10:07 pm

ΑΣΚΗΣΗ 5.39

Φέρνω την O\Delta. Στο ορθογώνιο τρίγωνο O\Delta \Gamma ισχύει O\Delta =\dfrac{O\Gamma }{2}.
Άρα \hat{\Gamma _{1}}=30^{0}, \hat{O_{1}}=60^{0}. Συνεπώς \hat{O_{2}}=120^{0} και αφού το
τρίγωνο AO\Delta είναι ισοσκελές έχουμε ότι \hat{A_{1}}=30^{0}. Επομένως το τρίγωνο A\Delta \Gamma
είναι ισοσκελές.
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ  5.39.png
ΑΣΚΗΣΗ 5.39.png (8.65 KiB) Προβλήθηκε 5282 φορές


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Νοέμ 29, 2015 12:19 pm

ΑΣΚΗΣΗ 6.24

1) Είναι M, P μέσα των B\Gamma , N\Gamma αντίστοιχα. Άρα MP\parallel BN.
2) Έστω K η τομή της AM και της BN. Στο τρίγωνο AMP έχουμε ότι MP\parallel NK.
Επειδή όμως N μέσο της AP, αναγκαστικά και K μέσο της AM. Οπότε η BN διέρχεται
από το μέσο της AM.
3) Εκ της υποθέσεως έχουμε ότι AB=BM\Rightarrow το τρίγωνο AB\Delta είναι ισοσκελές \Rightarrow
\Rightarrow BK ύψος \Rightarrow BK\perp AM\Leftrightarrow BN\perp AM.
4) Φέρνω την MN. Είναι BN μεσοκάθετος της AM\Rightarrow AN=MN\Rightarrow \dfrac{AP}{2}=MN\Rightarrow
\Rightarrow \hat{AMP}=90^{0}.
5) Αφού \hat{MA\Gamma }=30^{0} και το τρίγωνο AM\Gamma είναι ορθογώνιο \Rightarrow
\Rightarrow MP=\dfrac{AP}{2}\Rightarrow MP=NP\Rightarrow MP=P\Gamma (1). Όμως MP=\dfrac{BN}{2} (2).
Από την (1), (2) προκύπτει ότι BN=2P\Gamma .
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ  6.24.png
ΑΣΚΗΣΗ 6.24.png (5.06 KiB) Προβλήθηκε 5224 φορές


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Δευ Νοέμ 30, 2015 10:07 pm

ΑΣΚΗΣΗ 5.64

1) Από το άθροισμα των γωνιών του τετραπλεύρου AB\Gamma \Delta εύκολα προκύπτει ότι \hat{B}=90^{0}.
2) Από το ορθογώνιο τρίγωνο A\Delta \Gamma έχουμε \Delta K=\dfrac{A\Gamma }{2}.
Από το ορθογώνιο τρίγωνο AB\Gamma έχουμε BK=\dfrac{A\Gamma }{2}. Άρα \Delta K=KB\Rightarrow
\Rightarrow K\Delta B ισοσκελές.
Από το ορθογώνιο ZBE έχουμε B\Lambda =\dfrac{EZ}{2}.
Από το ορθογώνιο E\Delta Z έχουμε \Delta \Lambda =\dfrac{EZ}{2}. Άρα B\Lambda =\Delta \Lambda \Rightarrow
\Rightarrow \Lambda B\Delta ισοσκελές.
3) Παρατηρούμε ότι το \Gamma είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου AEZ. Συνεπώς A\Gamma \perp EZ.
4) Άμεση συνέπεια των άνω.
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ  5.64.png
ΑΣΚΗΣΗ 5.64.png (11.35 KiB) Προβλήθηκε 5133 φορές


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Σάβ Δεκ 05, 2015 9:08 pm

ΑΣΚΗΣΗ 4.24

Ισχύει ότι AB=2B\Gamma \Rightarrow 2ZB=2B\Gamma \Rightarrow ZB=B\Gamma \Rightarrow ZB=BE\Rightarrow
\Rightarrow το τρίγωνο ZBE ισοσκελές. Είναι \hat{ZBE}=120^{0}\Rightarrow \hat{E_{1}}=30^{0}.
Όμως και \hat{\Delta _{1}}=30^{0} (αφού η AZ εκτός από διάμεσος είναι και διχοτόμος).
Συνεπώς το τετράπλευρο \Delta ZBE είναι εγγράψιμο. Άρα \hat{Z_{1}}=\hat{B_{1}}=60^{0} και
\hat{E_{2}}=\hat{B_{2}}=60^{0}. Οπότε το τρίγωνο \Delta ZE είναι ισόπλευρο.
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ  4.24.png
ΑΣΚΗΣΗ 4.24.png (6.83 KiB) Προβλήθηκε 5052 φορές


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Σάβ Δεκ 05, 2015 10:19 pm

ΑΣΚΗΣΗ 4.27

Φέρνω την A\Gamma , AB, OB, O\Gamma , O\Delta . Το τρίγωνο AO\Delta είναι ισοσκελές (OA=O\Delta )\Rightarrow
\Rightarrow \hat{AO\Delta }=120^{0} (1). Αφού \Gamma B μεσοκάθετος της OA ισχύει \Gamma A=\Gamma O.
Όμως \Gamma O=OA. Άρα το τρίγωνο A\Gamma O είναι ισόπλευρο. Ομοίως αποδεικνύεται ότι και το τρίγωνο
ABO είναι ισόπλευρο. Οπότε \hat{\Gamma OB}=120^{0} (2). Από την (1) και (2) προκύπτει ότι A\Delta =B\Gamma .
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ  4.27.png
ΑΣΚΗΣΗ 4.27.png (7.96 KiB) Προβλήθηκε 5024 φορές


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Δεκ 06, 2015 2:11 pm

ΑΣΚΗΣΗ 6.18

Φέρνω την διάκεντρο K\Lambda (η οποία ως γνωστό διέρχεται από το σημείο επαφής A των δύο κύκλων)
και την προέκταση της \Gamma \Lambda η οποία έστω ότι τέμνει την \varepsilon στο \Delta .
Ονομάζω την \hat{\Delta \Gamma B} με \chi και την \hat{\Gamma B\Delta } με \psi .
Αρκεί να δείξουμε ότι \chi +\psi =90^{0}. Είναι \hat{\Gamma A\Lambda }=\chi (αφού το τρίγωνο
A\Lambda \Gamma είναι ισοσκελές) \Rightarrow \hat{KAB}=\chi (ως κατακορυφήν) \Rightarrow
\Rightarrow \hat{KBA}=\chi (αφού και το τρίγωνο BKA είναι ισοσκελές).
Όμως \hat{KB\Delta }=90^{0} (αφού η \varepsilon εφάπτεται του K στο B)\Rightarrow
\Rightarrow \chi +\psi =90^{0}.
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ  6.18.png
ΑΣΚΗΣΗ 6.18.png (15.88 KiB) Προβλήθηκε 4986 φορές


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Δεκ 06, 2015 10:38 pm

ΑΣΚΗΣΗ 6.17

Φέρνω την \Lambda B. Προφανώς τα τετράπλευρα ABK\Lambda , AK\Gamma M είναι εγγράψιμα.
Συνεπώς \hat{B_{1}}=\hat{M_{1}}=45^{0}. Άρα τα τρίγωνα \Lambda KB, MK\Gamma
είναι ορθογώνια και ισοσκελή. Οπότε KB=K\Lambda , KM=K\Gamma .
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ  6.17.png
ΑΣΚΗΣΗ 6.17.png (10 KiB) Προβλήθηκε 4949 φορές


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συλλογή Ασκήσεων σε όλη την ύλη - Γεωμετρία Α Λυκείου

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Παρ Δεκ 11, 2015 8:45 pm

ΑΣΚΗΣΗ 6.08

1) Επειδή N μέσο του τόξου B\Gamma, ισχύει \hat{BAN}=\hat{NA\Gamma }, τις οποίες ονομάζω \chi .
Οπότε και \hat{BMN}=\chi . Άρα η EZ φαίνεται υπό ίσες γωνίες από τις απέναντι κορυφές \Rightarrow
\Rightarrow AMZE εγγράψιμο.
2) Έστω \hat{AMB}=\psi . Οπότε και \hat{A\Gamma B}=\psi . Όμως \hat{AZE}=\psi(αφού AMZE εγγράψιμο).
Συνεπώς EZ\parallel B\Gamma .
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ  6.08.png
ΑΣΚΗΣΗ 6.08.png (11.65 KiB) Προβλήθηκε 4889 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες