Έστω τρίγωνο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

thry
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 13, 2012 3:57 am

Έστω τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thry » Παρ Δεκ 05, 2014 2:35 am

Έστω τρίγωνο ABC και P εσωτερικό του σημείο, τέτοιο ώστε PA = PC,\,BP = BC και \angle BCA = 2\angle BAC,\angle ABP=4\angle PAC Να αποδείξετε ότι P\widehat AC = {6^ \circ }.
τελευταία επεξεργασία από thry σε Παρ Δεκ 05, 2014 1:52 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7809
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Έστω τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Δεκ 05, 2014 7:55 am

thry έγραψε:Έστω τρίγωνο ABC και P εσωτερικό του σημείο, τέτοιο ώστε PA = PC,\,BP = BC και \angle BCA = 2\angle BAC. Να αποδείξετε ότι P\widehat AC = {6^ \circ }.
Εστω τρίγωνο.png
Εστω τρίγωνο.png (42.41 KiB) Προβλήθηκε 1183 φορές
Είναι σωστή η εκφώνηση ; ή κάτι δεν βλέπω σωστά ; Όμως B\widehat AP = 30^\circ


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12348
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Έστω τρίγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 05, 2014 1:01 pm

Ανακάλυψη.png
Ανακάλυψη.png (15.81 KiB) Προβλήθηκε 1131 φορές
Κατασκευάζουμε τρίγωνο \displaystyle ABC με πλευρές AC=b , CB=a ( τυχούσες ) και c=\sqrt{a^2+ab} .

Στο τρίγωνο αυτό είναι \hat{C}=2\hat{A} . Για μια απόδειξη του ισχυρισμού δες εδώ .

Φέρω τη μεσοκάθετη της AC και γράφω τον κύκλο (B,BC) , ο οποίος τέμνει τη μεσοκάθετο στο P .

Όλες οι απαιτήσεις της εκφώνησης ικανοποιήθηκαν αλλά η γωνία \widehat{PAC} δεν είναι απαραίτητα 6^0 .

Όμως η γωνία \widehat{PAB} είναι 30^0 . Ονόμασα την κατασκευή "ανακάλυψη" , αλλά είδα ότι ο Νίκος προηγήθηκε .

Τροποποιώντας , λοιπόν , το ζητούμενο σε "Δείξτε ότι \widehat{PAB}=30^0 ", πετύχαμε μια ωραία άσκηση !


thry
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 13, 2012 3:57 am

Re: Έστω τρίγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thry » Παρ Δεκ 05, 2014 1:03 pm

Zi̱tó̱ syngnó̱mi̱

Έστω τρίγωνο ABC και P εσωτερικό του σημείο, τέτοιο ώστε PA = PC,\,BP = BC και \angle BCA = 2\angle BAC,\angle ABP=4\angle PAC Να αποδείξετε ότι P\widehat AC = {6^ \circ }.
τελευταία επεξεργασία από thry σε Παρ Δεκ 05, 2014 1:52 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10206
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Έστω τρίγωνο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Δεκ 05, 2014 1:09 pm

Υπάρχει κι ένα ειδικό τρίγωνο που ικανοποιεί τα αρχικά δεδομένα(πριν τη συμπλήρωση).
Έστω  τρίγωνο.png
Έστω τρίγωνο.png (8.34 KiB) Προβλήθηκε 1126 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7809
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Έστω τρίγωνο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Δεκ 05, 2014 1:19 pm

Πολλά και ενδιαφέροντα με επιλογές διαφόρων γωνιών εξ αρχής.
Δίδεται τρίγωνο_ABC.png
Δίδεται τρίγωνο_ABC.png (21.44 KiB) Προβλήθηκε 1115 φορές
Δείτε στο B τι μπορούμε να κάνουμε!
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Παρ Δεκ 05, 2014 1:32 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10206
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Έστω τρίγωνο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Δεκ 05, 2014 1:21 pm

thry έγραψε:Zi̱tó̱ syngnó̱mi̱

Έστω τρίγωνο ABC και P εσωτερικό του σημείο, τέτοιο ώστε PA = PC,\,BP = BC και \angle BCA = 2\angle BAC,\angle ABP=3\angle PAC Να αποδείξετε ότι P\widehat AC = {6^ \circ }.
Και πάλι... νομίζω ότι πρέπει να είναι \angle ABP=4\angle PAC


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7809
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Έστω τρίγωνο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Δεκ 05, 2014 1:43 pm

thry έγραψε:Zi̱tó̱ syngnó̱mi̱

Έστω τρίγωνο ABC και P εσωτερικό του σημείο, τέτοιο ώστε PA = PC,\,BP = BC και \angle BCA = 2\angle BAC,\angle ABP=3\angle PAC Να αποδείξετε ότι P\widehat AC = {6^ \circ }.
Η λύση που θέλουμε.png
Η λύση που θέλουμε.png (24.82 KiB) Προβλήθηκε 1111 φορές
Τα ίδια βρίσκω με το Γιώργο .


thry
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 13, 2012 3:57 am

Re: Έστω τρίγωνο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thry » Παρ Δεκ 05, 2014 1:55 pm

:oops: :wallbash: καλά
Έχετε δίκιο
ABC και P εσωτερικό του σημείο, τέτοιο ώστε PA = PC,\,BP = BC και \angle BCA = 2\angle BAC,\angle ABP=4\angle PAC Να αποδείξετε ότι P\widehat AC = {6^ \circ }. :oops:


A. Π. Χ.
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Παρ Δεκ 05, 2014 3:04 am
Επικοινωνία:

Re: Έστω τρίγωνο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A. Π. Χ. » Σάβ Δεκ 06, 2014 10:02 am

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά στους Νίκους / Νίκες :-)

Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος υπολογίζονται οι γωνίες όπως εις το σχήμα,
κι εφαρμόζοντας την τριγ. μορφή του Θεωρ. Ceva καταλήγουμε στην τριγ. εξίσωση

2ημ(5χ) συν(11χ) = ημ(4χ)

Την εξίσωση αυτή την έστειλα ως πρόβλημα στην ομάδα "Short Mathematical idea" (*) του Facebook.
Από τις λύσεις δεκτή είναι η λύση χ = π / 30 ακτ. = 6 μοίρες.

Α. Π. Χ.

(*) Η ομάδα είναι κλειστή κι έχει περίπου 84 χιλ. μέλη, αυξανόμενα με ταχύτατους ρυθμούς :-).
Είμαι ένας από τους διαχειριστές και όποιος θέλει μπορεί να κάνει αίτηση εγγραφής από τη σελίδα
της ομάδας:
https://www.facebook.com/groups/ShMaId/
Συνημμένα
6moires.jpg
6moires.jpg (112.11 KiB) Προβλήθηκε 1041 φορές


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13176
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Έστω τρίγωνο

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 06, 2014 10:44 am

A. Π. Χ. έγραψε: Είμαι ένας από τους διαχειριστές <...>
Καλώς ήλθες στο δικό μας φόρουμ και συγχαρητήρια για την συμμετοχή σου σε αντίστοιχο
πολυπληθέστατο ξένο.

Θα σεβαστώ την ανωνυμία αλλά δεν άργησα να καταλάβω ποιος είσαι. Xαίρομαι ιδιαίτερα
που έγινες μέλος μας. Έχουμε βέβαια συναντηθεί σε άλλα fora όπως στο πάλαι ποτέ ΗΜ και
στον Hy... (που ίδρυσες εσύ). Εκεί θαύμαζα τις γνώσεις σου Γεωμετρίας και Ιστορίας των
Μαθηματικών και όχι μόνο.

Φιλικά,

Μιχάλης


A. Π. Χ.
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Παρ Δεκ 05, 2014 3:04 am
Επικοινωνία:

Re: Έστω τρίγωνο

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A. Π. Χ. » Σάβ Δεκ 06, 2014 11:02 am

Καλημέρα Μιχάλη και σ' ευχαριστώ για το Καλωσόρισμα !!

Μακάρι να υπάρχει χρόνος να τα λέμε κι από εδώ.

Δράττομαι της ευκαιρίας να σου πω κάτι που είχα στο μυαλό μου από καιρό.

Τη δημιουργία κάποια σελίδας, κάποιου forum (ή και σε αυτό εδώ ακόμα)
με θέμα την ιστορία των Νεοελληνικών Μαθηματικών.

Είμαι και συλλέκτης κι έχω υλικό (φωτογραφικό κλπ) και θα μπορούσα, όταν
ο χρόνος το επιτρέπει, να ανεβάζω πότε - πότε κάτι.

Σε Χαιρετώ

Α.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13176
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Έστω τρίγωνο

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 06, 2014 11:14 am

A. Π. Χ. έγραψε: Δράττομαι της ευκαιρίας να σου πω κάτι που είχα στο μυαλό μου από καιρό.

Τη δημιουργία κάποια σελίδας, κάποιου forum (ή και σε αυτό εδώ ακόμα)
με θέμα την ιστορία των Νεοελληνικών Μαθηματικών.

Είμαι και συλλέκτης κι έχω υλικό (φωτογραφικό κλπ) και θα μπορούσα, όταν
ο χρόνος το επιτρέπει, να ανεβάζω πότε - πότε κάτι.
Χαίρομαι ιδιαίτερα. Είχα και εγώ στον νου ένα τέτοιο φόρουμ και δεν αμφιβάλλω
ότι έχεις εξαιρετικό οπτικό και άλλο σχετικό υλικό. Όπως ξέρεις έχω ασχοληθεί
με τα Μαθηματικά της Τουρκοκρατίας και εντεύθεν.

Επίσης είχα κατά νου ένα φόρουμ στα Αγγλικά ή ένα περιοδικό όπως το Forum Geometricorum
με θέμα την Ιστορία της Κλασικής Γεωμετρίας. Έχω πάρα πολύ υλικό αλλά το μόνο πρόβλημα είναι
η έλλειψη χρόνου. Ειδικά ο διαγωνισμός Καγκουρό για 3-4 μήνες τον χρόνο με απασχολεί, κυριολεκτικά,
15 με 16 ώρες την ημέρα.

Φιλικά,

Μιχάλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες