Ευθεία των κέντρων

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
spyros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 91
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:15 am

Ευθεία των κέντρων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από spyros » Τετ Νοέμ 26, 2014 3:36 pm

Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma } με \displaystyle{\widehat {\rm B} = {90^ \circ }}. Κατασκευάζουμε εκτός του τριγώνου \displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma } τα κανονικά σχήματα \displaystyle{{\rm A}\Delta {\rm B}} και \displaystyle{{\rm B}\Gamma {\rm Z}{\rm E}}. Αν η ευθεία των κέντρων των κανονικών σχημάτων είναι παράλληλη στην ευθεία \displaystyle{{\rm A}\Gamma }, να βρεθεί ο λόγος \displaystyle{\frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm B}{\rm A}}}}
Συνημμένα
ευθεία κέντρων_.png
ευθεία κέντρων_.png (13.79 KiB) Προβλήθηκε 984 φορές


\displaystyle{\bf\sqrt{\Sigma \pi \upsilon \rho o \varsigma}^{2}
ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Ευθεία των κέντρων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Τετ Νοέμ 26, 2014 4:46 pm

Ευθεία των κέντρων.png
Ευθεία των κέντρων.png (11.37 KiB) Προβλήθηκε 947 φορές
Είναι \Lambda  \Xi //A \Gamma και αφού KM//A \Gamma άρα και KM// \Lambda   \Xi συνεπώς τα ορθογώνια τρίγωνα \Lambda N \Xi και KNM είναι όμοια, άρα ισχύει \dfrac{ \frac{a}{2} }{\dfrac{ \gamma }{2}}=(\dfrac{\gamma  \sqrt{3}}{6}+\dfrac{a}{2} )/( \gamma /2+a/2)  \Rightarrow 3a^2= \sqrt{3}  \gamma ^2  \Rightarrow \dfrac{ \gamma }{a} = \sqrt[4]{3} ή
\dfrac{ AB}{B \Gamma } = \sqrt[4]{3}
τελευταία επεξεργασία από ealexiou σε Τετ Νοέμ 26, 2014 5:20 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


gavrilos
Δημοσιεύσεις: 1034
Εγγραφή: Παρ Δεκ 07, 2012 4:11 pm

Re: Ευθεία των κέντρων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gavrilos » Τετ Νοέμ 26, 2014 4:53 pm

Μια υπολογιστική λύση.

Έστω \displaystyle{A(0,\gamma)} και \displaystyle{\Gamma (a,0)} και \displaystyle{B(0,0)}.

Τότε το σημείο \displaystyle{\Delta } είναι-αφού το ύψος του ισοπλεύρου τριγώνου έχει μήκος \displaystyle{\frac{\gamma \sqrt{3}}{2}}-το \displaystyle{\left(-\frac{\gamma \sqrt{3}}{2},\frac{\gamma}{2}\right)}.

Επίσης το \displaystyle{E} είναι το \displaystyle{(0,-a)}.

Άρα,αφού το \displaystyle{K} είναι βαρύκεντρο του τριγώνου είναι το \displaystyle{\left(-\frac{\gamma \sqrt{3}}{6},\frac{\gamma}{2}\right)} (υπάρχει εφαρμογή στο βιβλίο με τις συντεταγμένες του βαρυκέντρου).

Το \displaystyle{M} είναι το μέσο του \displaystyle{\Gamma E} δηλαδή το \displaystyle{\left(\frac{a}{2},-\frac{a}{2}\right)}.

Επομένως η ευθεία που τα συνδέει έχει κλίση \displaystyle{\lambda =\frac{\frac{\gamma}{2}+\frac{a}{2}}{\frac{-\gamma\sqrt{3}}{6}-\frac{a}{2}}}.

Η ευθεία που συνδέει τα \displaystyle{A,\Gamma} έχει κλίση \displaystyle{\frac{\gamma}{-a}.

Επομένως,αφού οι ευθείες είναι παράλληλες \displaystyle{\frac{\gamma}{a}=\frac{a+\gamma}{\frac{\gamma \sqrt{3}}{3}+a}}.

Ισοδύναμα \displaystyle{\frac{\gamma ^{2}\sqrt{3}}{3}+a\gamma=a^{2}+a\gamma \Leftrightarrow }.

Άρα \displaystyle{\frac{B\Gamma}{BA}=\frac{a}{\gamma}=\boxed{\frac{1}{\sqrt[4]{3}}}}.


Αν τα γεγονότα δεν συμφωνούν με τη θεωρία, τότε αλίμονο στα γεγονότα.

Albert Einstein
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9201
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ευθεία των κέντρων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 26, 2014 6:24 pm

spyros έγραψε:Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma } με \displaystyle{\widehat {\rm B} = {90^ \circ }}. Κατασκευάζουμε εκτός του τριγώνου \displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma } τα κανονικά σχήματα \displaystyle{{\rm A}\Delta {\rm B}} και \displaystyle{{\rm B}\Gamma {\rm Z}{\rm E}}. Αν η ευθεία των κέντρων των κανονικών σχημάτων είναι παράλληλη στην ευθεία \displaystyle{{\rm A}\Gamma }, να βρεθεί ο λόγος \displaystyle{\frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm B}{\rm A}}}}
Καλησπέρα σε όλους.

Στο ίδιο σκεπτικό με τον Ευθύμη, αλλά με όμοια τα ορθογώνια τρίγωνα MNK, AB\Gamma.
Ευθεία των κέντρων.png
Ευθεία των κέντρων.png (10.42 KiB) Προβλήθηκε 909 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες