Απορία σε όριο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

ann79
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Απορία σε όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Τετ Σεπ 17, 2014 10:11 am

Καλημέρα σας.

Στην άσκηση : " Δίνεται η συνάρτηση f: R\rightarrow R για την οποία ισχύει f(x^{3})+x^{2}f(x)\geq 2x^{3} για κάθε x πραγματικό. Να βρεθεί το lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}"

δεν θα έπρεπε να μας λέει 'να βρεθεί το lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x} εφόσον αυτό υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός;.
Η λύση που έχω δώσει χρησιμοποιεί ότι το όριο που ζητείται υπάρχει.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6090
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Απορία σε όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Σεπ 17, 2014 10:18 am

Έχεις δίκιο. Βλέπω ότι δύο συναρτήσεις που ικανοποιούν το δεδομένο είναι η \displaystyle{x} και η \displaystyle{x+1.}

Για την πρώτη υπάρχει το ζητούμενο όριο, ενώ για την δεύτερη όχι.


Μάγκος Θάνος
ann79
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Re: Απορία σε όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Τετ Σεπ 17, 2014 10:26 am

Ευχαριστώ για την απάντηση!

Με την ίδια λογική η ισοδυναμία lim_{x\rightarrow 0}(f(x)-1)^{2}=0\Leftrightarrow lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1 ισχύει μόνο αν είναι δεδομένο ότι υπάρχει το lim_{x\rightarrow 0}f(x);;;


Andreas Panteris
Δημοσιεύσεις: 171
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 10:56 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Απορία σε όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Andreas Panteris » Τετ Σεπ 17, 2014 11:48 am

Όχι γιατί ισχύει:

Αν \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} {f^2}(x) = 0,}τότε υπάρχει το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} f(x)} και είναι \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} f(x) = 0.}


Ισχύει: \displaystyle{ - \sqrt {{f^2}(x)}  =  - \left| {f(x)} \right| \le f(x) \le \left| {f(x)} \right| = \sqrt {{f^2}(x)} } και αφού \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \sqrt {{f^2}(x)}  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \left[ { - \sqrt {{f^2}(x)} } \right] = 0,}

σύμφωνα με το κριτήριο της παρεμβολής θα είναι και
\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} f(x) = 0.}


ann79
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Re: Απορία σε όριο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Τετ Σεπ 17, 2014 11:54 am

Andreas Panteris έγραψε:Όχι γιατί ισχύει:

Αν \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} {f^2}(x) = 0,}τότε υπάρχει το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} f(x)} και είναι \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} f(x) = 0.}


Ισχύει: \displaystyle{ - \sqrt {{f^2}(x)}  =  - \left| {f(x)} \right| \le f(x) \le \left| {f(x)} \right| = \sqrt {{f^2}(x)} } και αφού \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \sqrt {{f^2}(x)}  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \left[ { - \sqrt {{f^2}(x)} } \right] = 0,}

σύμφωνα με το κριτήριο της παρεμβολής θα είναι και
\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} f(x) = 0.}
Συμφωνώ απόλυτα με ό,τι γράφετε αλλά η απορία μου είναι από τη σχέση lim_{x\rightarrow 0}(f(x)-1)=0 πως καταλήγουμε αμέσως ότι lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1.

Κατά τη γνώμη μου , ή θα έπρεπε να μας λέει ότι υπάρχει το lim_{x\rightarrow 0}f(x), άρα τότε lim_{x\rightarrow 0}f(x)-1=0
ή να θέσω g(x)=f(x)-1\Leftrightarrow f(x)=g(x)+1, lim_{x\rightarrow 0}g(x)=0 άρα και lim_{x\rightarrow 0}f(x)=lim_{x\rightarrow 0}(g(x)+1)=0+1=1


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5266
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Απορία σε όριο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τετ Σεπ 17, 2014 12:07 pm

ann79 έγραψε:...................
Συμφωνώ απόλυτα με ό,τι γράφετε αλλά η απορία μου είναι από τη σχέση lim_{x\rightarrow 0}(f(x)-1)=0 πως καταλήγουμε αμέσως ότι lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1.
Δεν χρειάζεται απολύτως καμία άλλη ενέργεια :) . Πρόκειται για ιδιότητα των ορίων.Δες στο σχολικό βιβλίο , σελίδα 161, στο κάτω μέρος της σελίδας, ιδιότητα α).

Καλή χρονιά - Μπάμπης


ann79
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Re: Απορία σε όριο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Τετ Σεπ 17, 2014 12:13 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
ann79 έγραψε:...................
Συμφωνώ απόλυτα με ό,τι γράφετε αλλά η απορία μου είναι από τη σχέση lim_{x\rightarrow 0}(f(x)-1)=0 πως καταλήγουμε αμέσως ότι lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1.
Δεν χρειάζεται απολύτως καμία άλλη ενέργεια :) . Πρόκειται για ιδιότητα των ορίων.Δες στο σχολικό βιβλίο , σελίδα 161, στο κάτω μέρος της σελίδας, ιδιότητα α).

Καλή χρονιά - Μπάμπης

Ευχαριστώ πολύ!
Καλή χρονιά κ σε εσάς και όλα τα μέλη του :logo: !


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Λάμπρος Κατσάπας και 1 επισκέπτης