ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Ιούλ 16, 2013 3:58 am

1. α) Να αναλυθεί το κλάσμα \displaystyle{ \frac{77}{65}} σε άθροισμα δυο κλασμάτων που να έχουν παρανομαστές \displaystyle{5} και \displaystyle{13}

β) Να λυθεί το σύστημα \displaystyle{\begin{cases} 
 y^x(1+y^x)=10100 \\  
 \log\sqrt{x^{\nu}}-\log\sqrt{\frac{x}{y}}=2   
\end{cases}}


2. α) Να λυθεί το σύστημα \displaystyle{\begin{cases} 
 x^y=243\\  
 \sqrt[y]{1024} =\displaystyle \left(\frac{2}{3}x\right)^2 
\end{cases}}

β) Να λυθεί το σύστημα \displaystyle{\begin{cases} 
 xy=100 \\  
 \displaystyle\frac{x}{y}=2 \sqrt[3]{\displaystyle x^\log x}  
\end{cases}}


3. Οι αριθμοί \displaystyle{\kappa,\lambda,\mu,\nu} αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Το άθροισμα των δυο άκρων είναι ίσο με \displaystyle{5650} και των δύο μέσων είναι ίσο με \displaystyle{450}.
Να βρεθούν οι \displaystyle{\kappa,\lambda,\mu,\nu} .


4. Σε φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο οι τρεις πρώτοι όροι έχουν άθροισμα 21, οι τρεις επόμενοι όροι \displaystyle{\frac{21}{64}} .
Να βρείτε το άθροισμα των άπειρων όρων της γεωμετρικής προόδου.


edit
μετονομασία από ΕΜΠ 1931 ΠΟΛ.ΜΗΧ. ΑΛΓΕΒΡΑ σε ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ. γιατί μερικά τμήματα είχαν τα ίδια θέματα
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Δευ Αύγ 05, 2013 3:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1322
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΕΜΠ 1931 ΠΟΛ.ΜΗΧ. ΑΛΓΕΒΡΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Τετ Ιούλ 17, 2013 2:33 am

parmenides51 έγραψε:4. Σε φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο οι τρεις πρώτοι όροι έχουν άθροισμα 21, οι τρεις επόμενοι όροι \displaystyle{\frac{21}{64}} .
Να βρείτε το άθροισμα των άπειρων όρων της γεωμετρικής προόδου.
Για τους τρεις πρώτους: \displaystyle{{{S}_{3}}=a\cdot \frac{{{\lambda }^{3}}-1}{\lambda -1},\,\,\,0<\left| \lambda  \right|<1} και για τους τρεις επόμενους

με πρώτο όρο \displaystyle{b=a{{\lambda }^{3}}\Rightarrow {{{S}'}_{3}}=a{{\lambda }^{3}}\cdot \frac{{{\lambda }^{3}}-1}{\lambda -1}}. Τότε \displaystyle{\frac{{{{{S}'}}_{3}}}{{{S}_{3}}}={{\lambda }^{3}}\Rightarrow {{\lambda }^{3}}=\frac{21}{64}\cdot \frac{1}{21}=\frac{1}{64}\Rightarrow \lambda =\frac{1}{4}}.

Από \displaystyle{{{S}_{3}}=a\cdot \frac{{{\lambda }^{3}}-1}{\lambda -1}\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\lambda =\frac{1}{4}\Rightarrow 21=a\left( \frac{1}{64}-1 \right)\left( -\frac{4}{3} \right)=a\cdot \frac{21}{16}\Rightarrow a=16},

οπότε \displaystyle{S=\displaystyle{\frac{a}{1-\lambda }=\displaystyle{\frac{16}{1-\frac{1}{4}}=\frac{64}{3}}.


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 943
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Σάβ Οκτ 08, 2016 1:17 pm

parmenides51 έγραψε:1. α) Να αναλυθεί το κλάσμα \displaystyle{ \frac{77}{65}} σε άθροισμα δυο κλασμάτων που να έχουν παρανομαστές \displaystyle{5} και \displaystyle{13}
Έστω x,y ακέραιοι αριθμοί τέτοιοι ώστε \displaystyle\frac{x}{5}+\frac{y}{13}=\frac{77}{65}

Ισοδύναμα μπορεί να γραφεί ότι 13x+5y=77.

Aυτό που έχει να γίνει είναι να λυθεί η παραπάνω διοφαντική εξίσωση...

Μια λύση της εξίσωσης αυτής είναι x_{0}=9 , y_{0}=-8.

Συνεπώς οι άπειρες λύσεις της εξίσωσης αυτής δίνονται

x=9+5t , y=-8-13t με t ακέραιο.

Διαβάζοντας το θέμα κατάλαβα ότι οι εξεταστές ήθελαν άθροισμα κλασμάτων με τη στενή έννοια του όρου.

Έτσι μπαίνουν πλέον ο περιορισμός

\displaystyle x>0\Leftrightarrow9+5t>0\Leftrightarrow t>-\frac{9}{5}

και ο περιορισμός

\displaystyle y>0\Leftrightarrow-8-13t>0\Leftrightarrow t<-\frac{8}{13}

Οι δυο παραπάνω περιορισμοί μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι t=-1.

Έτσι x=9+5\cdot \left ( -1 \right )=4 και y=-8-13\cdot \left ( -1 \right )=5

Συνεπώς ο μόνος τρόπος που μπορεί να γραφεί το κλάσμα \displaystyle \frac{77}{65} ως άθροισμα δυο κλασμάτων είναι

\displaystyle \frac{4}{5}+\frac{5}{13}=\frac{77}{65}


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 343
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Σάβ Οκτ 08, 2016 4:03 pm

parmenides51 έγραψε:


2. α) Να λυθεί το σύστημα \displaystyle{\begin{cases} 
 x^y=243\\  
 \sqrt[y]{1024} =\displaystyle \left(\frac{2}{3}x\right)^2 
\end{cases}}

β) Να λυθεί το σύστημα \displaystyle{\begin{cases} 
 xy=100 \\  
 \displaystyle\frac{x}{y}=2 \sqrt[3]{\displaystyle x^\log x}  
\end{cases}}
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια για το 2.

Πρώτα από όλα έχουμε και για τα δύο υποερωτήματα x>0 και y>0.

α) Είναι : \sqrt[y]{1024} =\displaystyle \left(\frac{2}{3}x\right)^2 \Leftrightarrow \sqrt[y]{2^{10}} =\displaystyle \left(\frac{2}{3}x\right)^2 \Leftrightarrow 2^{10} =\displaystyle \left(\frac{2}{3}x\right)^{2y} \Leftrightarrow 2^{10} =\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2y} x^{2y}. (1)

Επίσης x^y =243 \Leftrightarrow x^y = 3^5 . (2)

Αντικαθιστώντας στην (1) την (2) έχουμε :

2^{10} =\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2y} 3^{10} \Leftrightarrow \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{10} =\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2y} , από όπου προκύπτει y=5
και στη συνέχεια από την (2) x=3.

β) Είναι xy=100 \Leftrightarrow log x +log y = 2 (1)

Επίσης \displaystyle\frac{x}{y}=2 \sqrt[3]{\displaystyle x^\log x} \Leftrightarrow log x -log y = log 2 + log \sqrt[3]{\displaystyle x^\log x} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow log x -log y = log 2 + \dfrac{1}{3} log \displaystyle x^\log x \Leftrightarrow log x -log y = log 2 + \dfrac{1}{3}  \displaystyle (\log x)^2 (2)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε:

2 log x  = 2 + log 2 + \dfrac{1}{3} (\log x)^2 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow (log x)^2  - 6 log x+ 6+ 3log 2 = 0 .

Από την παραπάνω δευτεροβάθμια προκύπτουν λύσεις : log x = 3\pm \sqrt{3log5}.

Αν log x = 3 + \sqrt{3log5}. τότε από την (1) προκύπτει log y = -1 - \sqrt{3log5}.

Άρα x= 10^{3+\sqrt{3log5}} και y= 10^{-1-\sqrt{3log5}}.

Επίσης αν log x = 3 - \sqrt{3log5}. τότε από την (1) προκύπτει log y = -1 + \sqrt{3log5}.

Άρα x= 10^{3-\sqrt{3log5}} και y= 10^{-1+\sqrt{3log5}}.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 943
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Πέμ Οκτ 13, 2016 8:13 pm

parmenides51 έγραψε: 3. Οι αριθμοί \displaystyle{\kappa,\lambda,\mu,\nu} αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Το άθροισμα των δυο άκρων είναι ίσο με \displaystyle{5650} και των δύο μέσων είναι ίσο με \displaystyle{450}.
Να βρεθούν οι \displaystyle{\kappa,\lambda,\mu,\nu} .
Θα λύσω το παραπάνω θέμα γιατί ο Παναγιώτης Χρονόπουλος έκανε ένα λάθος όταν το μετέφερε στο mathematica , ένα λάθος από αυτά που αναμένονται όταν κάποιος κάνει τόσα πολλά και διασώζει τέτοιο πλούτο θεμάτων. Πήγα να δω το θέμα εκεί από όπου το άντλησε ο Παναγιώτης , στο '' Παράρτημα του Δελτίου της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας '' . Τα αριθμητικά δεδομένα δεν φαίνονταν καλά στην οθόνη , έτσι λοιπόν τύπωσα τη σελίδα και κατόπιν της έκανα 2,5 φορές μεγέθυνση. Εκεί διέκρινα ότι το Το άθροισμα των δυο άκρων είναι δεν ίσο με \displaystyle{5650} αλλά με \displaystyle{3650}.

Ισχύει ότι
\lambda =a\kappa ,\mu =\kappa a ^{2},\nu =\kappa a ^{3}, όπου a ο λόγος της γεωμετρικής προόδου.

Ισχύει επίσης ότι
\kappa +\kappa a ^{3}=3650
και ότι
a\kappa+\kappa a ^{2}=450.

Η πρώτη μας δίνει ισοδύναμα ότι \kappa\left ( 1+a  \right )\left ( 1-a +a ^{2} \right )=3650
ενώ η δεύτερη μας δίνει ισοδύναμα ότι
\kappa a  \left ( 1+a  \right )=450

Aν διαιρεθούν αυτές οι ισότητες προκύπτει ότι

\displaystyle \frac{\kappa\left ( 1+a  \right )\left ( 1-a +a ^{2} \right )}{\kappa a  \left ( 1+a  \right )}=\frac{3650}{450}

και μετά τις απλοποιήσεις προκύπτει ότι

\displaystyle \frac{ 1-a +a ^{2} }{     a  }=\frac{73}{9}

από όπου προκύπτει η εξίσωση

9a^{2}-82a+9=0

η οποία έχει λύσεις το 9 και το \displaystyle \frac{1}{9}.

Αν a=9 τότε πολύ εύκολα προκύπτει ότι \kappa=5.
Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι 5,45,405,3645.

Αν \displaystyle a=\frac{1}{9} προκύπτει ότι \kappa=3645.
Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι 3645,405,45,5.

Το θέμα έχει ουσιαστικά μια λύση.


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 943
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Τρί Απρ 18, 2017 7:51 pm

parmenides51 έγραψε: β) Να λυθεί το σύστημα \displaystyle{\begin{cases} 
 xy=1000 \\  
 \displaystyle\frac{x}{y}= \sqrt[3]{\displaystyle x^\log x}  
\end{cases}}
Πριν γράψω οτιδήποτε θέλω να γράψω ότι το θέμα που δόθηκε το 1931 έδινε xy=1000 και όχι xy=100.
Ο Παναγιώτης Χρονόπουλος - εντελώς ανθρώπινα - έκανε ένα λάθος στην αντιγραφή...
Πολύ μικρό λάθος συγκριτικά με την προσπάθεια που κατέβαλε για να μεταφέρει τόσα και τόσα παλιά θέματα , πολλά εκ των οποίων είναι εξαιρετικά...
Eπίσης δεν υπάρχει το 2 στη δεύτερη εξίσωση.
Το θέμα το βρήκα στη ψηφιακή βιβλιοθήκη της ιστοσελίδας της ΕΜΕ , στη σελίδα 109 του Παραρτήματος του Δελτίου της ΕΜΕ , στο τεύχος 7 του 1932.


Αν λογαριθμίσω την πρώτη εξίσωση λαμβάνω ότι

logx+logy=3

και αν κάνω το ίδιο στη δεύτερη λαμβάνω ότι

\displaystyle logx-logy=log\sqrt[3]{x^{logx}}\Leftrightarrow logx-logy=logx^{\frac{logx}{3}}\Leftrightarrow logx-logy=logx\cdot \frac{logx}{3}

η οποία ισοδύναμα γράφεται

\displaystyle  logx-logy= \frac{log^{2}x}{3}



Aν προστεθούν οι δύο εξισώσεις μας δίνουν ότι

\displaystyle 2logx=3+\frac{log^{2}x}{3} \Leftrightarrow log^{2}x-6logx+9=0\Leftrightarrow logx=3\Leftrightarrow x=1000

Πλέον είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι y=1


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 943
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Τετ Ιούλ 26, 2017 12:09 pm

parmenides51 έγραψε:1.
β) Να λυθεί το σύστημα \displaystyle{\begin{cases} 
 y^x(1+y^x)=10100 \\  
 \log\sqrt{x^{\nu}}-\log\sqrt{\frac{x}{y}}=2   
\end{cases}}
Οφείλω να ασχοληθώ με το θέμα αυτό γιατί δεν είναι σωστά γραμμένο . Για να το δω έψαξα στο ''Παράρτημα του Δελτίου της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας'' και συγκεκριμένα στο τεύχος 9-10 του 1932 στη σελίδα 150. Ο Παναγιώτης Χρονόπουλος έπρεπε να παλέψει με τα πολύ μικρά τυπογραφικά στοιχεία και ήταν επόμενο να κάνει λάθη. Αυτό συμβαίνει σε έναν άνθρωπο που προσπαθεί να διασώσει τα παλιά θέματα. Η προσφορά του όμως είναι ανεκτίμητη...
Η σωστή διατύπωση της δεύτερης εξίσωσης είναι
\displaystyle \log\sqrt{xy}-\log\sqrt{\frac{x}{y}}=2   
\end{cases}}

Aς δούμε τώρα τη λύση...


y^{x}\left ( 1+y^{x} \right )=10100\Leftrightarrow \left ( y^{x} \right )^{2}+y^{x}-10100=0

Πρόκειται για μια δευτεροβάθμια ως προς y^{x} της οποίας η διακρίνουσα είναι ίση με 1-4\left ( -10100 \right )=1+40400=40401=201^{2}
Συνεπώς

ή \displaystyle y^{x}=\frac{-1+201}{2}=100 ή \displaystyle y^{x}=\frac{-1-201}{2}=-101

Επειδή η ποσότητα y^{x} είναι θετική , προκύπτει ότι y^{x}=100

Ας ασχοληθούμε με τη δεύτερη εξίσωση.

\displaystyle log\sqrt{xy}-log\sqrt{\frac{x}{y}}=2\Leftrightarrow log\sqrt{xy\frac{y}{x}}=2\Leftrightarrow log\sqrt{y^{2}}=2\Leftrightarrow logy=2\Leftrightarrow

y=100

Έτσι η y^{x}=100 γράφεται πλέον 100^{x}=100 που ισοδύναμα δίνει x=1


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 943
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Πέμ Ιούλ 27, 2017 5:00 pm

parmenides51 έγραψε:

2. α) Να λυθεί το σύστημα \displaystyle{\begin{cases} 
 x^y=243\\  
 \sqrt[y]{1024} =\displaystyle \left(\frac{2}{3}x\right)^2 
\end{cases}}
Ας ασχοληθούμε με την πρώτη εξίσωση
x^{y}=243\Leftrightarrow x^{y}=3^{5}\Leftrightarrow \left ( x^{y} \right )^{2}=\left ( 3^{5} \right )^{2}\Leftrightarrow x^{2y}=3^{10}

Ας ασχοληθούμε με τη δεύτερη εξίσωση
\displaystyle\sqrt[y]{1024}=\left ( \frac{2}{3}x^{2} \right )\Leftrightarrow \left ( \sqrt[y]{2^{10}} \right )^{y}=\left [ \left ( \frac{2}{3}x \right )^{2} \right ]^{y}\Leftrightarrow 2^{10}=\left ( \frac{2}{3}x \right )^{2y}\Leftrightarrow 2^{10}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{2y} \cdot x^{2y}

Άρα μπορεί πλέον να γραφεί ότι
\displaystyle2^{10}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{2y}\cdot 3^{10}
το οποίο με τη σειρά του δίνει
\displaystyle\frac{2^{10}}{3^{10}}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{2y}
από το οποίο συνεπάγεται
\displaystyle\left ( \frac{2}{3} \right )^{10}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{2y}

Προκύπτει εύκολα ότι 2y=10 , δηλαδή y=5

Συνεπώς
x^{10}=3^{10} , δηλαδή
x=3


Απάντηση

Επιστροφή σε “Εξετάσεις Σχολών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης