Ανάπτυγμα σε φθίνουσα σειρά δυνάμεων

Ιστοσελίδα · #1

Αναπτύσσουμε την $\left( \sqrt{x}+ \frac{1}{2 \sqrt[4]{x}}\right) ^ n$ σε φθίνουσα σειρά δυνάμεων του χ. Αν οι συντελεστές των τριών πρώτων όρων σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο, να βρεθεί πόσοι όροι του αναπτύγματος έχουν ακέραια δύναμη του χ.

#2

polysot έγραψε:Αναπτύσσουμε την $\left( \sqrt{x}+ \frac{1}{2 \sqrt[4]{x}}\right) ^ n$ σε φθίνουσα σειρά δυνάμεων του χ. Αν οι συντελεστές των τριών πρώτων όρων σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο, να βρεθεί πόσοι όροι του αναπτύγματος έχουν ακέραια δύναμη του χ.

Είναι

$\displaystyle{\left( \sqrt{x}+ \frac{1}{2 \sqrt[4]{x}}\right) ^ n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\sqrt{x}^k\Big(\frac{1}{2\sqrt[4]{x}}\Big)^{n-k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}2^{k-n}x^{\frac{3k-n}{4}}}$ .

Γράφοντας τους όρους σε φθίνουσες δυνάμεις του $\displaystyle{x}$ , οι τρεις πρώτοι όροι αντιστοιχούν στις τιμές $\displaystyle{n,n-1,n-2}$ του $\displaystyle{k,}$

οπότε έχουμε τους συντελεστές
$\displaystyle{\binom{n}{k}2^{k-n}}$ , για $\displaystyle{k=n,n-1,n-2.}$

Αυτοί είναι οι $\displaystyle{1,\frac{n}{2},\frac{n(n-1)}{4},}$ αντίστοιχα, και επειδή αποτελούν αριθμητική πρόοδο, εύκολα βρίσκουμε $\displaystyle{n=4.}$

Τότε το ανάπτυγμα είναι το

$\displaystyle{\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}2^{k-4}x^{\frac{3k-4}{4}}}$

Τότε όροι που έχουν ακέραια δύναμη του $\displaystyle{x,}$ είναι αυτοί που παράγονται για $\displaystyle{k=0,4,}$ δηλαδή οι

$\displaystyle{x^2,\frac{1}{16}x^{-1}.}$

Ανάπτυγμα σε φθίνουσα σειρά δυνάμεων

Ανάπτυγμα σε φθίνουσα σειρά δυνάμεων

Re: Ανάπτυγμα σε φθίνουσα σειρά δυνάμεων

Μέλη σε σύνδεση