Θέμα 29

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

ghan
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2011 11:18 pm

Θέμα 29

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghan » Τρί Ιαν 31, 2012 1:27 am

Αν \displaystyle{f(x)=x-{{x}^{2}}, να συγκριθούν οι αριθμοί: \displaystyle{f\left( \sqrt[3]{3} \right), \displaystyle{f\left( \sqrt[5]{5} \right), \displaystyle{f\left( \sqrt[7]{7} \right)}.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2875
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Θέμα 29

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τρί Ιαν 31, 2012 2:13 am

Η συνάρτηση g(x)=x^{\frac{1}{x}} , x\in({0,+\infty}) είναι γνησίως φθίνουσα στο ({e,+\infty}), αφού η παράγωγός της g^{\prime}(x)=\dfrac{x^{\frac{1}{x}}}{x^2}\,({1-\ln{x}}) είναι αρνητική στο ({e,+\infty}) . Επομένως, αφού e<3<5<7, έπεται \sqrt[3]{3}>\sqrt[5]{5}>\sqrt[7]{7} .

Η συνάρτηση f(x)=x-x^2 είναι γνησίως φθίνουσα στο ({1,+\infty}) , αφού έχει αρνητική παράγωγο f^{\prime}(x)=1-2x στο ({1,+\infty}).

Επομένως , αφού \sqrt[3]{3}>\sqrt[5]{5}>\sqrt[7]{7}>1, έπεται ότι f\bigl({\sqrt[3]{3}\,}\bigr)<f\bigl({\sqrt[5]{5}\,}\bigr)<\bigl({\sqrt[7]{7}\,}\bigr)\,.\quad\square


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες