κυρτή για ζέσταμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

caley-hamilton
Δημοσιεύσεις: 84
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 20, 2011 1:05 am

κυρτή για ζέσταμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από caley-hamilton » Παρ Σεπ 30, 2011 10:07 pm

Έστω f:(a,b)\to \mathbb{R} κυρτή μη σταθερή σε κανένα υποδιάστημα του (a,b).Δείξτε ότι η f δεν παίρνει max τιμή στο (a,b).

(Θα ήθελα να δω και σχολικές λύσεις στο παραπάνω ζήτημα!)


Εάν επρόκειτο να ξυπνήσω έπειτα από έναν ύπνο χιλίων ετών,
η πρώτη μου ερώτηση θα ήταν:Αποδείχθηκε η υπόθεση Riemann;

David Hilber (1862-1943)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4313
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: κυρτή για ζέσταμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Σάβ Οκτ 01, 2011 9:09 am

Καλή σας μέρα και καλό μήνα. Είναι το πρώτο μου μήνυμα με την νέα εμφάνιση του mathematica. Καλορίζικη λοιπόν.
Χρειαζόμαστε ένα ορισμό για την κυρτή. Ξεκινάω με ένα (από τους πολλούς) παραδεδεγμένο (γενικό και μη σχολικό):
\bullet Μία συνάρτηση f είναι κυρτή στο διάστημα \Delta αν για κάθε x,y \in \Delta και p,q\in \left[ 0,1\right] με p+q=1 ισχύει f\left( px+qy\right) \leq pf\left( x\right) +qf\left( y\right)
που είναι ισοδύναμος με τις συνθήκες
\bullet Αν x,y,z\in \Delta με x<y<z τότε \frac{f\left( y\right) -f\left( x\right) }{y-x}\leq \frac{f\left( z\right) -f\left( y\right) }{z-y}
\bullet Αν x,y,z\in \Delta με x<y<z τότε \frac{f\left( y\right) -f\left( x\right) }{y-x}\leq \frac{f\left( z\right) -f\left( x\right) }{z-x}

Ας υποθέσουμε τώρα ότι η συνάρτηση μας παρουσιάζει μέγιστο σε κάποιο x_0. Επειδή εργαζόμαστε σε ανοικτό διάστημα αυτό θα περιέχει κάποια x_1, x_2 ώστε x_{1}<x_{0}<x_{2}. Τότε με ένα εύκολο υπολογισμό προσήμων στην σχέση
\frac{\overset{\leq 0}{\overbrace{f\left( x_{1}\right) -f\left( x_{0}\right) }}}{\underset{<0}{\underbrace{x_{1}-x_{0}}}}\leq \frac{\overset{\geq 0}{\overbrace{f\left( x_{0}\right) -f\left( x_{2}\right) }}}{\underset{<0}{\underbrace{x_{0}-x_{2}}}}
καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι πρέπει f\left( x_{1}\right) =f\left( x_{0}\right) =f\left( x_{2}\right).
Παίρνουμε τώρα ένα x με x_{1}<x<x_{0}<x_{2}. Θα είναι
\frac{f\left( x\right) -f\left( x_{1}\right) }{x-x_{1}}\leq \frac{f\left( x_{0}\right) -f\left( x_{1}\right) }{x_{0}-x_{1}}=0
και επομένως f\left( x\right) \leq f\left( x_{1}\right) =f\left( x_{0}\right) όπως επίσης
\frac{f\left( x_{0}\right) -f\left( x\right) }{x_{0}-x}\leq \frac{f\left( x_{2}\right) -f\left( x_{0}\right) }{x_{2}-x_{0}}=0
άρα f\left( x_{0}\right) \leq f\left( x\right). Συνεπώς f\left( x_{0}\right) =f\left( x\right) και η f είναι σταθερή στο \left[ x_{1},x_{0}\right] (άτοπο). Άρα η f δεν έχει μέγιστο.
Μαυρογιάννης
τελευταία επεξεργασία από nsmavrogiannis σε Δευ Ιουν 18, 2012 4:08 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Προσθήκη της συνθήκης $p+q=1$. Ευχαριστώ τον Δημήτρη Ιωάννου.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4313
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: κυρτή για ζέσταμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Σάβ Οκτ 01, 2011 10:58 am

caley-hamilton έγραψε:(Θα ήθελα να δω και σχολικές λύσεις στο παραπάνω ζήτημα!)
Σχολικές λύσεις προϋποθέτουν και σχολικό ορισμό. Με βάση τον σχολικό ορισμό (και με δεδομένη την εξαίρεση της κατακόρυφης εφαπτομένης) η f θα είναι παραγωγίσιμη και η f^{\prime } θα είναι γνησίως αύξουσα. Αν υποτεθεί ότι η f παρουσιάζει μέγιστο στο x_0 επειδή αυτό είναι αναγκαστικά εσωτερικό σημείο θα πρέπει f^{\prime }\left( x_{0}\right) =0. Επομένως στα διαστήματα \left( \alpha ,x_{0}\right), \left( x_{0},\beta \right ) η f^{\prime } θα είναι αντιστοίχως αρνητική και θετική και η f θα είναι γνησίως γθίνουσα και γνησίως αύξουσα. Το x_0 εκτός από μέγιστο αναδεικνύεται και ελάχιστο και επομένως η f είναι σταθερή (άτοπο).
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες