Γουστόζικες!
Συντονιστής: Demetres
-
- Δημοσιεύσεις: 142
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 6:09 pm
Γουστόζικες!
(α). Να βρεθούν οι αριθμητικές πρόοδοι για τις οποίες το άθροισμα των ν πρώτων όρων, για κάθε ν φυσικό αριθμό, είναι τέλειο τετράγωνο.
(β). Ποια είναι η αριθμητική πρόοδος της οποίας το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι ίσο με το τετράγωνο του πλήθους των όρων της.
(β). Ποια είναι η αριθμητική πρόοδος της οποίας το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι ίσο με το τετράγωνο του πλήθους των όρων της.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Γουστόζικες!
Βιαστικά γιατί πρέπει να φύγω από τον υπολογιστή (και δεν έχω σύνδεση ιντερνετ από το σπίτι μου, για να συνεχίσω):APOSTOLAKIS έγραψε:(α). Να βρεθούν οι αριθμητικές πρόοδοι για τις οποίες το άθροισμα των ν πρώτων όρων, για κάθε ν φυσικό αριθμό, είναι τέλειο τετράγωνο.
(β). Ποια είναι η αριθμητική πρόοδος της οποίας το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι ίσο με το τετράγωνο του πλήθους των όρων της.
Και στις δύο περιπτώσεις η απάντηση είναι 1, 3, 5, 7, ... (με την προσθήκη ότι
στην πρώτη περίπτωση είναι, γενικότερα, πολλαπλάσιο αυτής της προόδου επί σταθερό τέλειο τετράγωνο).
Το (β) είναι απλό (ισχύει 2α + (ν-1)δ = 2ν για κάθε ν, οπότε α=1, δ=2), αλλά το (α) θέλει κάπως περισσότερη δουλειά.
Ας προσθέσω ότι η ιδιότητα της 1, 3, 5, ... να αθροίζεται σε τέλειο τετράγωνο ήταν γνωστό στους αρχαίους Πυθαγορείους. Η χαριτωμένη αυτή άσκηση λέει ότι, ουσιαστικά, δεν υπάρχει άλλο αντίστοιχο παράδειγμα.
Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου.
-
- Δημοσιεύσεις: 142
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 6:09 pm
Re: Γουστόζικες!
Για το (β) είναι όντως αυτή και γι' αυτό που γράψατε το έβαλα αυτό το ερώτημα για το (α) ερώτημα έχω αμφιβολίες.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Γουστόζικες!
Ας δούμε λοιπόν απόδειξη του (α).APOSTOLAKIS έγραψε: για το (α) ερώτημα έχω αμφιβολίες.
Εξ υποθέσεως, για κάθε n είναι (2a + (n-1)d)n/2 = τέλειο τετράγωνο =
(όπου το Τ εξαρτάται από το n). Άρα .
Εφαρμόζοντας αυτό στην περίπτωση n = περιττός πρώτος
έπεται από τις ιδιότητες των πρώτων αριθμών ότι υπάρχει τέλειο τετράγωνο τέτοιο ώστε
Άρα n διαιρεί τον 2a-d. Αλλά n τυχαίος περιττός πρώτος. Συνεπώς 2a-d = 0, ή d = 2a.
Άρα η αριθμητική πρόοδος a, a+d, a+2d, a+3d, ... είναι της μορφής
α, 3α, 5α, 7α, ...
Τέλος ο α είναι τέλειο τετράγωνο (είναι η περίπτωση n = 1 της αρχικής υπόθεσης).
Γράφοντας α = β^2 βλέπουμε ότι οι όροι της προόδου μας είναι β^2 φορές τους
1, 3, 5, 7, ... , όπως θέλαμε να δείξουμε.
Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου.
Υστερόγραφο:
Με βάση τα παραπάνω (ίδια λύση), να μία ωραία ασκησούλα Θεωρίας Αριθμών:
Αν τέλειο τετράγωνο για κάθε n, όπου ,
τότε a = τέλειο τετράγωνο και b = 0.
-
- Δημοσιεύσεις: 142
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 6:09 pm
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Γουστόζικες!
Όχι, νομίζω πως δεν μπορούμε με διακρίνουσα.APOSTOLAKIS έγραψε: θα μπορούσαμε να πάμε και με Διακρίνουσα Δ=0;
Η αιτία είναι ότι η ζητούμενη γράφεται .
Αυτή μόνο φαινομενικά είναι δευτεροβάθμια ως προς n. Στην πραγματικότητα υπάρχει n
και μέσα στο Τ, οπότε δεν εφαρμόζεται η σχετική θεωρία.
Ελπίζω να βοήθησα.
Φιλικά
Μιχάλης.
-
- Δημοσιεύσεις: 142
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 6:09 pm
Re: Γουστόζικες!
Συγνώμη κ. Λάμπρου δεν αναφέρομαι στο τριώνυμο: n^2 + (2a-d)n - 2T^2=0, αλλά στη παράσταση η^2+(2a-d)n.
Δηλαδή, για να είναι τετράγωνο αρκεί Δ=0 ή (2a-d)^2-4.1.0=0 ...
Δηλαδή, για να είναι τετράγωνο αρκεί Δ=0 ή (2a-d)^2-4.1.0=0 ...
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Γουστόζικες!
Και πάλι δεν μπορούμε να πούμε "αρκεί Δ = 0".APOSTOLAKIS έγραψε:Συγνώμη κ. Λάμπρου δεν αναφέρομαι στο τριώνυμο: n^2 + (2a-d)n - 2T^2=0, αλλά στη παράσταση η^2+(2a-d)n.
Δηλαδή, για να είναι τετράγωνο αρκεί Δ=0 ή (2a-d)^2-4.1.0=0 ...
Ο λόγος είναι ο εξής: Όταν λέμε "το είναι τέλειο τετράγωνο αν και μόνον αν Δ=0" εννοούμε, ακριβέστερα, ότι το τριώνυμο αυτό είναι της μορφής
. Δηλαδή τετράγωνο μονωνύμου.
Στην άσκηση όμως ζητάμε το να είναι τετράγωνο αριθμού. Ο αριθμός αυτός δεν είναι σαφές ότι προκύπτει από μονώνυμο. Π.χ. ποιός μας λέει οτι δεν είναι (τάδε αν n άρτιος και (κάτι άλλο αν n περιττός; Ή, ακόμα χειρότερα, να είναι τέλειο τετράγωνο παράστασης που δεν είναι μονώνυμο, αλλά κάτι σαν (ακέραιο μέρος τριγωνομετρικού;
Φιλικά,
Μιχάλης.
-
- Δημοσιεύσεις: 142
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 6:09 pm
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης