Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#1

Επειδή πολλοί μαθητές του Γυμνασίου ενδιαφέρονται για τους διαγωνισμούς που γίνονται κάθε χρόνο, αλλά δεν έχουν αποκτήσει την εμπειρία σχετικά με τα θέματα που μπαίνουν, προτείνω να ξεκινήσουμε να βάζουμε θέματα που είτε έχουν τεθεί παλιά ή είναι παρόμοιου επιπέδου αρχίζοντας με εύκολα, ώστε να μπουν σιγά σιγά στο νόημα οι αρχάριοι αλλά ταλαντούχοι μαθητές. Επίσης προτείνω να αφήνουμε για 5 ημέρες το κάθε θέμα ώστε να απαντηθεί από τους μαθητές και αν όχι να γράφουμε εμείς μια λύση (ή περισσότερες αν υπάρχουν) .

Ξεκινάω με μια άσκηση που έχει τεθεί παλιά από την ΕΜΕ στην Β Γυμνασίου:

ΑΣΚΗΣΗ 1: Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

$A=(2^{10}:2^{6})^{2}-3^{12}:(3^{9}.3)+5.(2^{3}+3^{2}) B=5.(2^{3}-1)+8.(3^{3}-20)-8.(5^{2}-15)$

(Ας το αφήσουμε να απαντηθεί από μαθητές μέχρι 22-5-2011)

Ιωάννου Δημήτρης

ΑΡΣΕΝΟΗ · #2

Καλημέρα

Πολύ ωραία αυτή η πρωτοβουλία κ.Δημήτρη για το να ανοίξετε ένα τέτοιο θέμα.Εγώ όσο μπορώ θα ασχολούμαι...Ελπίζω να δούμε και ασκήσεις δικιά σας επινόησης αλλά και όλων των καθηγητών του

.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 1: Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:
$A=(2^{10}:2^{6})^{2}-3^{12}:(3^{9}.3)+5.(2^{3}+3^{2})$

Για το Α:
$\displaystyle\ A=\left(2^{10}:2^{6} \right)^{2}-3^{12}:\left(3^{9}{\cdot 3 \right)+5\left(2^{3}+3^{2} \right)=$ $\displaystyle \left(2^{4} \right)^{2}-3^{12}:3^{10}+5\left(8+9 \right)=\displaystyle\ 2^{8}-3^{2}+5 {\cdot 17=256-9+85={\color{red}332 }$

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 1: Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:
$B=5.(2^{3}-1)+8.(3^{3}-20)-8.(5^{2}-15)$

Για το Β:
$\displaystyle\ B=5\left(2^{3}-1 \right)+8\left(3^{3}-20 \right)-8\left(5^{2}-15 \right)=$
$\displaystyle\ 5\left(8-1 \right)+8\left(27-20 \right)-8\left(25-15 \right)=$
$\displaystyle\ 5 {\cdot 7 +8{\cdot 7-8{\cdot 10=35+56-80=91-80=11$

edit:Ευχαριστώ Σωκράτη για την διόρθωση.

sokratis lyras · #3

Αρσενόη έχεις κάνει ένα λάθος στο αποτέλεσμα του Α..για κοίταξέ το πάλι.

#4

Αρσενόη, ένα μεγάλο μπράβο, που παρόλο ότι γράφεις άλλα μαθήματα, βρίσκεις τον χρόνο και ασχολείσαι και με τέτοια θέματα.
Συνεχίζω με δύο ακόμα ασκήσεις. (Η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ στην Γ Γυμνασίου)

ΑΣΚΗΣΗ 2.: Να βρείτε την τιμή της παράστασης: $A=(-1)^{2n+2011}.(-1)^{2n+2012}+0,2^{100}.5^{101}$

ΑΣΚΗΣΗ 3.: Αν x+y=2003

, να βρείτε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{A=2003-\frac{6-10x+2(4x-y-3)}{3(x-z)+3(y+z)}-2(x+\frac{1}{3})-2y}$

Γιώτα · #5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2.: Να βρείτε την τιμή της παράστασης: $A=(-1)^{2n+2011}.(-1)^{2n+2012}+0,2^{100}.5^{101}$

Το 2n είναι σίγουρα άρτιος αριθμός οπότε την πρώτη φορά προσθέτοντας του το 2011 που είναι περιττός το άθροισμα τους γίνεται και αυτό περιττός αριθμός, άρα το $(-1)^{2n+2011}$ θα γίνει -1.
Εφόσον το 2n+2011 είναι περιττός το 2n+2012 είναι άρτιος άρα το $(-1)^{2n+2012}$ γίνεται 1.
Άρα έχω:
$\displaystyle {A=(-1)(1)+\frac{2^{100}}{10^{100}}\cdot 5^{101}= -1+\frac{2^{100}\cdot 5^{100}}{10^{100}} 5=-1+\frac{10^{100}}{10^{100}}\cdot 5=-1+5=4}$

Γιώτα · #6

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3.: Αν , να βρείτε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{A=2003-\frac{6-10x+2(4x-y-3)}{3(x-z)+3(y+z)}-2(x+\frac{1}{3})-2y}$

Θα ξεκινήσω αναλύοντας μόνο του το κλάσμα.
$\displaystyle{\frac{6-10x+8x-2y-6}{3[(x-z)+(y+z)]}=\frac{-2(x+y)}{3(x+y)}=-\frac{2}{3}}$

Άρα τώρα έχω:
$\displaystyle{A=2003+\frac{2}{3}-2x-\frac{2}{3}-2y=2003-2(x+y)=2003-2\cdot 2003=2003(1-2)=-2003}$

#7

Μπράβο Γιώτα.
Συνεχίζω με δύο ακόμα θέματα που έχουν τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ στην Β και στην Γ Γυμνασίου:

ΑΣΚΗΣΗ 4.: Δίνονται οι αριθμοί:

$\displaystyle{A=(-2)^{1000}.\left(\frac{3}{2} \right)^{500}.\left(\frac{1}{2} \right)^{998}.\left(-\frac{2}{3} \right)^{499}},\ \ B=2^{n}.3^{n+1}$ όπου

άρτιος φυσικός αριθμός.

Να συγκριθούν οι αριθμοί $3.A^{n},B$

ΑΣΚΗΣΗ 5. Αν

$\displaystyle{A=\frac{(-2)^{n}}{2n^{2}}}$ , $\displaystyle{B=\frac{(-2)^{n}}{2n^{2}+3}}$ , όπου

θετικός ακέραιος, να βρεθεί ποιος από τους αριθμούς

και

είναι μεγαλύτερος.

Γιώτα · #8

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 4.: Δίνονται οι αριθμοί:

$\displaystyle{A=(-2)^{1000}.\left(\frac{3}{2} \right)^{500}.\left(\frac{1}{2} \right)^{998}.\left(-\frac{2}{3} \right)^{499}},\ \ B=2^{n}.3^{n+1}$ όπου άρτιος φυσικός αριθμός.
Να συγκριθούν οι αριθμοί $3.A^{n},B$

$\displaystyle{A=2^{501}\cdot 2^{499}\cdot (\frac{3}{2})^{499}\cdot (\frac{1}{2})^{499}\cdot (\frac{1}{2} )^{499}\cdot (-\frac{2}{3})^{499}\cdot \frac{3}{2}= 2^{501}(-\frac{12}{24})^{499}\cdot\frac{3}{2}=2^{501}(-\frac{1}{2})^{499}\cdot\frac{3}{2}=(-\frac{2^{501}}{2^{499}})\cdot\frac{3}{2}=-2^{2}\cdot\frac{3}{2}=-6}$

$B=2^{n}\cdot3^{n}\cdot3=6^{n}\cdot3$

Αρα ο αριθμός $3A^{n}=3\cdot (-6)^{n}=3\cdot 6^{n}$ αφού

είναι άρτιος.

Αρα A=B

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 5. Αν
$\displaystyle{A=\frac{(-2)^{n}}{2n^{2}}}$ , $\displaystyle{B=\frac{(-2)^{n}}{2n^{2}+3}}$ , όπου θετικός ακέραιος, να βρεθεί ποιος από τους αριθμούς και είναι μεγαλύτερος.

Αφού τα δυο κλάσματα έχουν τον ίδιο αριθμητή το μεγαλύτερο είναι αυτό με το μικρότερο παρονομαστή. Άρα πρέπει να συγκρίνω το $2n^{2}$ και $2n^{2}+3$ .
Το $2n^{2}$ είναι σαφώς μικρότερο άρα A> B

Έκανα λάθος.
Aυτό ισχύει μόνο όταν το

είναι άρτιος. Οταν το

είναι περιττός το πρόσημο είναι μείον οποτε μεγαλύτερος είναι ο

. Το $A\succ B$ ισχύει μόνο για τις απόλυτες τιμές.

#9

Ωραίες λύσεις!!
Πριν συνεχίσω τις υπόλοιπες ασκήσεις, θα ήθελα να παραθέσω μερικές παρατηρήσεις για να ανεβάσουμε λίγο τον πήχη.

(α) Αν ένας αριθμός λήγει σε 0 ή 1 ή 5 ή 6, τότε κάθε δύναμη που έχει βάση τον αριθμό αυτό θα λήγει επίσης σε 0 ή 1ή 5 ή 6 αντίστοιχα.

(β) Ένας φυσικός αριθμός που λήγει σε 2 ή 3 ή 7 ή 8, δεν μπορεί να είναι τετράγωνος (δηλ. δεν μπορεί να πάρει την μορφή τετραγώνου φυσικού αριθμού)

Από τις δύο επόμενες ασκήσεις, η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Γ Γυμνασίου.

ΑΣΚΗΣΗ 6: Αν

$\alpha =(8^{7}-9.8^{6}+9.8^{5}-9.8^{4}+9.8^{3}-9.8^{2}+9.8-1)^{1000} \beta =1024^{200}.625^{1000}$

να συγκρίνετε τους αριθμούς $\alpha ^{2}$ και $\beta$

ΑΣΚΗΣΗ 7: Να βρείτε το ψηφίο των μονάδων του αριθμού $129^{500}$

ΑΡΣΕΝΟΗ · #10

Καλημέρα...

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 6: Αν

$\alpha =(8^{7}-9.8^{6}+9.8^{5}-9.8^{4}+9.8^{3}-9.8^{2}+9.8-1)^{1000} \beta =1024^{200}.625^{1000}$

να συγκρίνετε τους αριθμούς $\alpha ^{2}$ και $\beta$

$\dispaystyle\ a=\left(8^{7}-9{\cdot 8^{6}+9{\cdot 8^{5}-9 {\cdot 8^{4}+9 {\cdot 8^{3}-9{\cdot 8^{2}+9 {\cdot 8-1 \right)^{1000}=$
$\dispaystyle\ [8^{7}-(8+1){\cdot8^{6}+(8+1){\cdot8^{5}-(8+1) {\cdot 8^{4}+(8+1){\cdot 8^{3}-(8+1){\cdot8^{2}+(8+1){\cdot8-1]^{1000}=$
$\dispaystyle\ (8^{7}-8^{7}-8^{6}+8^{6}+8^{5}-8^{5}-8^{4}+8^{4}+8^{3}-8^{3}-8^{2}+8^{2}+8-1)^{1000}=$
$\dispaystyle\ (+7)^{1000}=7^{1000}$
Άρα $\dispaystyle\ a^{2}=7^{2000}=(7^{2})^{1000}=49^{1000}$
Επομένως $\dispaystyle\ \alpha ^{2}<b$

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 7: Να βρείτε το ψηφίο των μονάδων του αριθμού $129^{500}$

Τον αριθμό $\dispaystyle\ 129^{500}$ μπορούμε να τον γράψουμε ώς $\dispaystyle\ (129^{2})^{250}$ . Ο $\dispaystyle\ (129^{2})$ λήγει σε 1 άρα οποιαδήποτε δύναμη του θα λήγει σε 1.Άρα ο αριθμός $\dispaystyle\ 129^{500}$ λήγει σε 1.

#11

Ωραίες οι λύσεις. ( Το γιατί ο αριθμός b είναι ο μεγαλύτερος, το αφήνω να το ξανασκεφτείς όταν έχεις χρόνο. Είναι πολύ εύκολο).

Συνεχίζω (όσο εσείς λύνετε) με δύο ακόμα ασκήσεις που η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Γ ΄Γυμνασίου:

ΑΣΚΗΣΗ 8:
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός: $A=1^{1}+2^{2}+3^{3}+...+10^{10}$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο (ακεραίου)

ΑΣΚΗΣΗ 9.:
Να βρεθεί το ψηφίο των μονάδων του αριθμού : $579^{101}$

Γιώτα · #12

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 8:
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός: $A=1^{1}+2^{2}+3^{3}+...+10^{10}$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο (ακεραίου)

Τον αριθμό Α μπορώ να τον γράψω και με τη μορφή:
$A=1^1+2^2+3^3+4^2\cdot4^2 +5^2\cdot5^2\cdot5+6^2\cdot6^2\cdot6^2+7^2\cdot7^2\cdot7^2\cdot7+8^2\cdot8^2\cdot8^2\cdot8^2+9^2\cdot9^2\cdot9^2\cdot9^2\cdot9+10^{10} =1+4+27+16\cdot16+25\cdot25\cdot5+36\cdot36\cdot36+49\cdot49\cdot49\cdot7+64\cdot64\cdot64\cdot64+81\cdot81\cdot81\cdot81\cdot9+10^{10}$

Άρα το τελευταίο ψηφίο του Α είναι $\tau(A) =\tau(1+4+7+6+5+6+3+6+9+0)=\tau(47)=7$ που σημαίνει ότι σίγουρα δεν είναι τέλειο τετράγωνο κανενός ακέραιου αριθμού.

Γιώτα · #13

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9.:
Να βρεθεί το ψηφίο των μονάδων του αριθμού : $579^{101}$

Το ψηφίο των μονάδων του $597^{101}$ είναι ίσο με:
$\tau (579^{101})=\tau (9^{101})=\tau (9^{100}\cdot9^1)=\tau ((9^2)^{50}\cdot9)=\tau (81^{50}\cdot9)=\tau (1^{50}\cdot9)=9$

T-Rex · #14

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 7 Να βρείτε το ψηφίο των μονάδων του αριθμού $129^{500}$

επειδη το 129 τελειώνει σε 9 οταν πολλαπλασιάζουμε τα εννιαρια περνουμε 1 αν τα εννιαρια ειναι αρτιος αριθμος και 9 αν τα
εννιαρια ειναι περιτος αριθμος
π.χ 9.9.=81 81.9=729 729.9=6561
εδω το 129 το έχουμε 500ιες φορες αρά ο αριθμός $129^{^{500}}$ τελειώνει σε 1

#15

Ένα μπράβο και στο μικρό "αστεράκι" του mathematica, T-rex.

Από τις επόμενες δύο ασκήσεις που ακολουθούν, η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Γ Γυμνασίου

ΑΣΚΗΣΗ 10:
Να εξετάσετε αν ο αριθμός $7^{100}+658^{1000}$ διαιρείται
(α) με το 2

(β) με το 5

ΑΣΚΗΣΗ 11:
Οι ακέραιοι

και

είναι ανάλογοι προς τον αριθμητή και τον παρονομαστή αντίστοιχα του κλάσματος που προκύπτει από την μετατροπή σε κλασματική μορφή του δεκαδικού περιοδικού αριθμού α=4,333...
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{B=\frac{6x-5y}{6x+5y}-\frac{21}{31}}$

S.E.Louridas · #16

Επειδή ο ΔΗΜΗΤΡΗΣ ξεκίνησε μία πολύ ωραία παρέμβαση ουσίας κόντρα στις λέξεις και επί του πρακτέου, θα προτείνω μία άσκηση από τις σημειώσεις του προπονητικού team της Εθνικής Βουλγαρίας για Juniors υπό τον καθηγητή Ivan Tonov.

ΑΣΚΗΣΗ 12 :
Να υπολογιστεί το ελάχιστο της παράστασης
x^2 - 8xy + 19y^2 - 6y + 3,

προσδιορίζοντας ταυτόχρονα και τις τιμές των x, y

για τις οποίες το έχουμε.

S.E.Louridas

ΑΡΣΕΝΟΗ · #17

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 10:
Να εξετάσετε αν ο αριθμός $7^{100}+658^{1000}$ διαιρείται
(α) με το 2

(β) με το 5

Καλησπέρα...

Ο αριθμός $\dispaystyle\ 7^{100}+658^{1000}$ λήγει:
Ο $\dispaystyle\ 7^{100}$ μπορεί να γραφτεί ώς: $\dispaystyle\ (7^{4})^{25}$ .Το $\dispaystyle\ 7^{4}$ λήγει σε 1 άρα όλος ο αριθμός θα λήγει σε 1

Ο αριθμός $\dispaystyle\ 658^{1000}$ μπορεί να γραφτεί ώς: $\dispaystyle\ (658^{4})^{250}$ .το $\dispaystyle\ 658^{4}$ λήγει σε 6, άρα όλος ο αριθμός θα λήγει σε 6.
Τέλος: 6+1=7 άρα όλος αυτός ο αριθμός θα λήγει σε 7.Το 7 όμως δε διαιρεί ούτε το 2 ούτε το 5.

Eagle · #18

S.E.Louridas έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 12.
« Να υπολογιστεί το ελάχιστο της παράστασης

προσδιορίζοντας ταυτόχρονα και τις τιμές των x, y για τις οποίες το έχουμε»

S.E.Louridas

Λοιπόν ας ονομάσουμε Α την παράσταση x^2 - 8xy + 19y^2 - 6y + 3

.Έτσι $\displaystyle{ A=x^2 - 8xy + 19y^2 - 6y + 3=(x^2-8xy+16y^2)+3y^2-6y+3=(x-4y)^2+3(y^2-2y+1)=(x-4y)^2+3(y-1)^2 \geq 0}$ .Συνεπώς η ελάχιστη τιμή της παράστασης είναι το 0 και λαμβάνεται όταν x=4y

και όταν

,δηλαδή όταν x=4,y=1

S.E.Louridas · #19

ΑΣΚΗΣΗ 13 : (Από την ίδια πηγή)

Έστω Μ,Ν τα μέσα των πλευρών DC, AB ενός τετράπλευρου ABCD.
Υπολογίστε την τιμή της παράστασης:
$X \equiv \frac{{\left( {AND} \right) + \left( {BNC} \right)}} {{\left( {ABM} \right)}} - \frac{{\left( {ABM} \right)}} {{\left( {AND} \right) + \left( {BNC} \right)}}.$

(*) όταν έχουμε ευθύγραμμο σχήμα μέσα σε παρένθεση εννοούμε το εμβαδόν του.

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #20

ΑΣΚΗΣΗ 14 : (Ομοίως από την ίδια πηγή)

Έστω $a,b,c,d \in \mathbb{N},\;\omega \sigma \tau \varepsilon \;4a^2 + 13b^2 + 13c^2 + 9d^2 = 12\left( {ab + bc + cd} \right).$
Να αποδειχθεί ότι :
$a = \pi o\lambda \lambda .\,27.$

S.E.Louridas

Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Μέλη σε σύνδεση