Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
Συντονιστής: stranton
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1272
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
- Τοποθεσία: Χανιά
- Επικοινωνία:
Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
Ανεβάζω -σταδιακά- κάποιες ασκήσεις, για επανάληψη.
Γίνεται προσπάθεια ώστε κάθε μια από αυτές να καλύπτει όσο το δυνατό μεγαλύτερο εύρος ύλης.
Πιθανόν κάποια ερωτήματα να "ξεφεύγουν" από το αυστηρό πλαίσιο της διδακτέας ύλης.
Άσκηση 1
Έστω η συνάρτηση με .
Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε .
Β) Να βρεθούν οι τιμές του ώστε η συνάρτηση με να έχει ελάχιστο στο .
Γ) Αν
α) να λύσετε την ανίσωση
β) να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της τέμνει τους άξονες και
γ) να λύσετε την εξίσωση
δ) να βρείτε τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της είναι πάνω από την ευθεία
ε) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την κορυφή της παραβολής και το σημείο στο οποίο η τέμνει τον
Μίλτος
Γίνεται προσπάθεια ώστε κάθε μια από αυτές να καλύπτει όσο το δυνατό μεγαλύτερο εύρος ύλης.
Πιθανόν κάποια ερωτήματα να "ξεφεύγουν" από το αυστηρό πλαίσιο της διδακτέας ύλης.
Άσκηση 1
Έστω η συνάρτηση με .
Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε .
Β) Να βρεθούν οι τιμές του ώστε η συνάρτηση με να έχει ελάχιστο στο .
Γ) Αν
α) να λύσετε την ανίσωση
β) να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της τέμνει τους άξονες και
γ) να λύσετε την εξίσωση
δ) να βρείτε τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της είναι πάνω από την ευθεία
ε) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την κορυφή της παραβολής και το σημείο στο οποίο η τέμνει τον
Μίλτος
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
A) Έχουμε:
για κάθε οπότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες
Β)
Για να έχει η f ελάχιστο πρέπει
Γ)
α) Για έχουμε: οπότε από την ανίσωση έχουμε:
β) Για
Για
γ) Είναι
δ) Πρέπει
ε) Η κορυφή της παραβολής είναι
και το σημείο που κόβει τον άξονα y’y είναι (όπως βρήκαμε) το
Είναι προφανές (με διαφορετικές τετμημένες) ότι η ζητούμενη ευθεία (ε) είναι της μορφής:
Με και με
Το σύστημα των (2) και (3) δίνει (εύκολα) και
Άρα η ζητούμενη ευθεία θα έχει εξίσωση
ΚΑΛΗ ΑΝΑΣΤΑΣΗ
Φιλικά
Στάθης Κούτρας
για κάθε οπότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες
Β)
Για να έχει η f ελάχιστο πρέπει
Γ)
α) Για έχουμε: οπότε από την ανίσωση έχουμε:
β) Για
Για
γ) Είναι
δ) Πρέπει
ε) Η κορυφή της παραβολής είναι
και το σημείο που κόβει τον άξονα y’y είναι (όπως βρήκαμε) το
Είναι προφανές (με διαφορετικές τετμημένες) ότι η ζητούμενη ευθεία (ε) είναι της μορφής:
Με και με
Το σύστημα των (2) και (3) δίνει (εύκολα) και
Άρα η ζητούμενη ευθεία θα έχει εξίσωση
ΚΑΛΗ ΑΝΑΣΤΑΣΗ
Φιλικά
Στάθης Κούτρας
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1272
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
- Τοποθεσία: Χανιά
- Επικοινωνία:
Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
πλήρης και αναλυτική λύση!ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:A) Έχουμε:
Ακολουθεί η άσκηση 2, η ιδέα της οποίας προέρχεται από θέμα εξετάσεων του 4ου ΓΛΧ
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1272
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
- Τοποθεσία: Χανιά
- Επικοινωνία:
Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
Άσκηση 2
Δίνεται η συνάρτηση
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να απλοποιήσετε τον τύπο της
Β) Να αποδείξετε ότι η είναι περιττή
Γ) Να βρείτε τη μονοτονία της σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της.
Δ) Να βρείτε (εφ΄ όσον υπάρχουν) τα σημεία όπου η τέμνει τις ευθείες , , ή
Ε) Να λύσετε την ανίσωση
Στ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία , , και είναι συνευθειακά.
Ζ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της
Μ.
Δίνεται η συνάρτηση
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να απλοποιήσετε τον τύπο της
Β) Να αποδείξετε ότι η είναι περιττή
Γ) Να βρείτε τη μονοτονία της σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της.
Δ) Να βρείτε (εφ΄ όσον υπάρχουν) τα σημεία όπου η τέμνει τις ευθείες , , ή
Ε) Να λύσετε την ανίσωση
Στ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία , , και είναι συνευθειακά.
Ζ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της
Μ.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
A)
Περιορισμοί:
και για
όπου παριστάνει το πεδίο ορισμού της f
Β) Επειδή το πεδίο ορισμού της f είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν αν και άρα η f είναι περιττή
Γ)
• Για κάθε με γνησίως φθίνουσα στο .
• Ομοίως για κάθε με γνησίως φθίνουσα στο
**Παρατήρηση: Αν τελικά η f είναι γνησίως φθίνουσα στο
• για κάθε με γνησίως φθίνουσα στο .
• και τέλος για κάθε με γνησίως φθίνουσα στο
Παρατήρηση: Αν τελικά η f είναι γνησίως φθίνουσα στο
*** Προσοχή!!! η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της αλλά κατά διαστήματα (στα και ) αφού αν
Δ) Εφόσον προφανώς η δεν τέμνει τις (κατακόρυφες) ευθείες με εξισώσεις αλλά και επειδή η δεν τέμνει ούτε την (οριζόντια) ευθεία με εξίσωση (τον άξονα x'x)
Ε)
ΣΤ) Έστω , και
Θεωρούμε την ευθεία (ε) που διέρχεται από το και από το σημείο .
Προφανώς η εξίσωση της (ε) (επειδή διέρχεται από το και δεν είναι παράλληλη στον y’y (τα Ο και Β έχουν διαφορετικές τετμημένες) είναι της μορφής
Επειδή
Επειδή οι συντεταγμένες και του Α επαληθεύουν την εξίσωση της οπότε το σημεία Ο, Α, Β είναι συνευθειακά.
Z) Η γραφική της παράσταση στο συννημένο
ΠΛΗΣΙΑΖΕΙ Η ΑΝΑΣΤΑΣΗ !!!
Φιλικά
Στάθης Κούτρας
Περιορισμοί:
και για
όπου παριστάνει το πεδίο ορισμού της f
Β) Επειδή το πεδίο ορισμού της f είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν αν και άρα η f είναι περιττή
Γ)
• Για κάθε με γνησίως φθίνουσα στο .
• Ομοίως για κάθε με γνησίως φθίνουσα στο
**Παρατήρηση: Αν τελικά η f είναι γνησίως φθίνουσα στο
• για κάθε με γνησίως φθίνουσα στο .
• και τέλος για κάθε με γνησίως φθίνουσα στο
Παρατήρηση: Αν τελικά η f είναι γνησίως φθίνουσα στο
*** Προσοχή!!! η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της αλλά κατά διαστήματα (στα και ) αφού αν
Δ) Εφόσον προφανώς η δεν τέμνει τις (κατακόρυφες) ευθείες με εξισώσεις αλλά και επειδή η δεν τέμνει ούτε την (οριζόντια) ευθεία με εξίσωση (τον άξονα x'x)
Ε)
ΣΤ) Έστω , και
Θεωρούμε την ευθεία (ε) που διέρχεται από το και από το σημείο .
Προφανώς η εξίσωση της (ε) (επειδή διέρχεται από το και δεν είναι παράλληλη στον y’y (τα Ο και Β έχουν διαφορετικές τετμημένες) είναι της μορφής
Επειδή
Επειδή οι συντεταγμένες και του Α επαληθεύουν την εξίσωση της οπότε το σημεία Ο, Α, Β είναι συνευθειακά.
Z) Η γραφική της παράσταση στο συννημένο
ΠΛΗΣΙΑΖΕΙ Η ΑΝΑΣΤΑΣΗ !!!
Φιλικά
Στάθης Κούτρας
- Συνημμένα
-
- 1.png (17.89 KiB) Προβλήθηκε 11412 φορές
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
Με πρόλαβε ο Στάθης.
Λίγο πιο σύντομα το ερώτημα Στ.
Στ) Επειδή η είναι περιττή τα σημεία , είναι συμμετρικά ως προς το , γιατί
έτσι τα είναι συνευθειακά.
Καλή Ανάσταση
Λίγο πιο σύντομα το ερώτημα Στ.
Στ) Επειδή η είναι περιττή τα σημεία , είναι συμμετρικά ως προς το , γιατί
έτσι τα είναι συνευθειακά.
Καλή Ανάσταση
Ηλίας Καμπελής
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1272
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
- Τοποθεσία: Χανιά
- Επικοινωνία:
Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
Με τον τρόπο αυτό, μάλιστα, αποδεικνύουμε ότι το Ο είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζεται από τα σημεία Α και Β, κάτι που θα μπορούσε να ζητείται να αποδειχτεί.hlkampel έγραψε: Λίγο πιο σύντομα το ερώτημα Στ.
Στ) Επειδή η είναι περιττή τα σημεία , είναι συμμετρικά ως προς το , γιατί
έτσι τα είναι συνευθειακά.
Καλή Ανάσταση
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1272
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
- Τοποθεσία: Χανιά
- Επικοινωνία:
Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
Άσκηση 3
Δίνεται η συνάρτηση με .
Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα σε σταθερό σημείο
Β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με τον άξονα , με σταθερή τετμημένη
Γ) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες τη εξίσωση έχει δύο ομόσημες ρίζες
Δ) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της , εφάπτεται στην ευθεία
Ε) Έστω και είναι τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης , με τον τότε:
α) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι
β) να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες είναι
Στ) Αν , να κάνετε πίνακα μονοτονίας και ακροτάτων της
Μ.
Από άσκηση του Ευκλείδη Β τ 76
Δίνεται η συνάρτηση με .
Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα σε σταθερό σημείο
Β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με τον άξονα , με σταθερή τετμημένη
Γ) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες τη εξίσωση έχει δύο ομόσημες ρίζες
Δ) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της , εφάπτεται στην ευθεία
Ε) Έστω και είναι τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης , με τον τότε:
α) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι
β) να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες είναι
Στ) Αν , να κάνετε πίνακα μονοτονίας και ακροτάτων της
Μ.
Από άσκηση του Ευκλείδη Β τ 76
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
Α) Είναι
Β) Είναι
Οπότε η εξίσωση θα έχει ρίζες τις
οπότε άρα η γραφική παράσταση της f θα τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο με σταθερή τετμημένη 4
Γ) Για να έχει η εξίσωση ρίζες ομόσημες πρέπει
Δ) Για να εφάπτεται η γραφική παράσταση της f στον άξονα x’x πρέπει και αρκεί :
Ε)
α) Είναι
β) Αν είναι
γ) Για λ=2 έχουμε: με οπότε με έχουμε:
• Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα και
• Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα
• Έχει ελάχιστο στο το
Στάθης Κούτρας
και χρόνια πολλά
Β) Είναι
Οπότε η εξίσωση θα έχει ρίζες τις
οπότε άρα η γραφική παράσταση της f θα τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο με σταθερή τετμημένη 4
Γ) Για να έχει η εξίσωση ρίζες ομόσημες πρέπει
Δ) Για να εφάπτεται η γραφική παράσταση της f στον άξονα x’x πρέπει και αρκεί :
Ε)
α) Είναι
β) Αν είναι
γ) Για λ=2 έχουμε: με οπότε με έχουμε:
• Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα και
• Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα
• Έχει ελάχιστο στο το
Στάθης Κούτρας
και χρόνια πολλά
- Συνημμένα
-
- Πίνακας μονοτονίας.png (7.85 KiB) Προβλήθηκε 11241 φορές
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1272
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
- Τοποθεσία: Χανιά
- Επικοινωνία:
Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
Άσκηση 4
Δίνεται η συνάρτηση : με
Α) Να βρεθούν οι τιμές του ώστε
Β) Αν τότε:
α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης
β) Να βρείτε την απόσταση των σημείων και
γ) Να βρείτε τα σημεία όπου η γραφική παράσταση της , τέμνει τους άξονες και
δ) Να λύσετε την ανίσωση
ε) Να βρείτε τη μονοτονία της σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της
στ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της
Μίλτος
Δίνεται η συνάρτηση : με
Α) Να βρεθούν οι τιμές του ώστε
Β) Αν τότε:
α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης
β) Να βρείτε την απόσταση των σημείων και
γ) Να βρείτε τα σημεία όπου η γραφική παράσταση της , τέμνει τους άξονες και
δ) Να λύσετε την ανίσωση
ε) Να βρείτε τη μονοτονία της σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της
στ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της
Μίλτος
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
A)
B) Για έχουμε:
οπότε
α)
β) Αν και θα είναι
γ) Έχουμε: και
δηλαδή η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα x’x
δ) έχουμε:
ε) Για επειδή ο τύπος της f είναι τύπος ευθείες με συντελεστή διεύθυνσης -1 η f θα είναι γνησίως φθίνουσα στο
Για επειδή ο τύπος της f είναι τύπος ευθείες με συντελεστή διεύθυνσης 1 η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο
στ) Στο συννημένο
Φιλικά
Στάθης Κούτρας
B) Για έχουμε:
οπότε
α)
β) Αν και θα είναι
γ) Έχουμε: και
δηλαδή η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα x’x
δ) έχουμε:
ε) Για επειδή ο τύπος της f είναι τύπος ευθείες με συντελεστή διεύθυνσης -1 η f θα είναι γνησίως φθίνουσα στο
Για επειδή ο τύπος της f είναι τύπος ευθείες με συντελεστή διεύθυνσης 1 η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο
στ) Στο συννημένο
Φιλικά
Στάθης Κούτρας
- Συνημμένα
-
- Γραφική παράσταση.png (10.45 KiB) Προβλήθηκε 11168 φορές
τελευταία επεξεργασία από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ σε Δευ Απρ 25, 2011 4:06 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- Μάκης Χατζόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 2456
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
Μίλτο η απόσταση των σημείων δεν είναι εκτός ύλης;m.pαpαgrigorakis έγραψε:Άσκηση 4
β) Να βρείτε την απόσταση των σημείων και
Μίλτος
(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: Μίλτο η απόσταση των σημείων δεν είναι εκτός ύλης;
m.pαpαgrigorakis έγραψε:Ανεβάζω -σταδιακά- κάποιες ασκήσεις, για επανάληψη.
Πιθανόν κάποια ερωτήματα να "ξεφεύγουν" από το αυστηρό πλαίσιο της διδακτέας ύλης.
Χρήστος Κυριαζής
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1272
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
- Τοποθεσία: Χανιά
- Επικοινωνία:
Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
Μάκη δεν έχω μελετήσει αναλυτικά τις οδηγίες επειδή δεν διδάσκω φέτος στην Α Λυκείου. Αυτός είναι ο λόγος που έβαλα και το σχόλιο ότι "πιθανόν κάποια ερωτήματα να ξεφεύγουν από το αυστηρό πλαίσιο της διδακτέας ύλης"Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: Μίλτο η απόσταση των σημείων δεν είναι εκτός ύλης;
Τις ασκήσεις αυτές τις συνθέτω τις τελευταίες μέρες. Τις δίνω για επανάληψη στο γιος μου που πάει στην Α Λυκείου.
Σκέφτηκα ότι ίσως φανούν χρήσιμες και σε κάποιον άλλο, αφού βέβαια τις προσαρμόσει κατάλληλα για αυτό και τις ανεβάζω εδώ.
Από εδώ θέλω να ευχαριστήσω το Στάθη Κούτρα για τις υποδειγματικές λύσεις που δίνει.
Ευχαριστώ το Χρήστο για την απάντησή του.
Τέλος να πω ότι οποιαδήποτε παρατήρηση ή συμπλήρωση των ερωτημάτων των ασκήσεων είναι αποδεκτή.
Μίλτος
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
Μίλτο, καλησπέρα
Θέλω και εγώ να σε ευχαριστήσω από τη μεριά μου για τα καλά σου λόγια αλλά και τα όμορφα συνδυαστικά θέματα που ανεβάζεις
Νά είσαι πάντα γερός
Φιλικά
Στάθης Κούτρας
Θέλω και εγώ να σε ευχαριστήσω από τη μεριά μου για τα καλά σου λόγια αλλά και τα όμορφα συνδυαστικά θέματα που ανεβάζεις
Νά είσαι πάντα γερός
Φιλικά
Στάθης Κούτρας
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1272
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
- Τοποθεσία: Χανιά
- Επικοινωνία:
Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
Ευχαριστώ Στάθη, να είσαι και συ πάντα καλάΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Μίλτο, καλησπέρα
Θέλω και εγώ να σε ευχαριστήσω από τη μεριά μου για τα καλά σου λόγια αλλά και τα όμορφα συνδυαστικά θέματα που ανεβάζεις
Νά είσαι πάντα γερός
Φιλικά
Στάθης Κούτρας
Μίλτος
Και επόμενη άσκηση (τα τρία πρώτα ερωτήματα) προέρχεται από θέμα εξετάσεων του 4ου ΓΛΧ.
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1272
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
- Τοποθεσία: Χανιά
- Επικοινωνία:
Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
Άσκηση 5
Δίνεται η συνάρτηση με και . Γνωρίζουμε ότι για η έχει ελάχιστο το .
Α) Να βρείτε τα και
Β) Αν και τότε:
α) Να λύσετε την εξίσωση
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με
γ) Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης
δ) Να αποδείξετε ότι
ε) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της τέμνει τους άξονες
στ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την κορυφή της παραβολής και το σημείο που η γραφική παράσταση της τέμνει το θετικό ημιάξονα
Μ.
Δίνεται η συνάρτηση με και . Γνωρίζουμε ότι για η έχει ελάχιστο το .
Α) Να βρείτε τα και
Β) Αν και τότε:
α) Να λύσετε την εξίσωση
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με
γ) Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης
δ) Να αποδείξετε ότι
ε) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της τέμνει τους άξονες
στ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την κορυφή της παραβολής και το σημείο που η γραφική παράσταση της τέμνει το θετικό ημιάξονα
Μ.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
Μίλτο εδώ είμαι ακόμα...
Α) Είναι
και
\displaystyle{\displaystyle{
\Rightarrow \kappa ^2 - 2\kappa + 1 = 0 \Rightarrow \left( {\kappa - 1} \right)^2 = 0 \Rightarrow \ldots \boxed{\kappa = 1}
}\displaystyle{
\kappa = 1,\lambda = 3 \Rightarrow \boxed{f\left( x \right) = 2x^2 - 4x - 1}
}\displaystyle{
\left| {f\left( x \right) - 2x^2 } \right| = 2x^2 - f\left( x \right) = - \left( {f\left( x \right) - 2x^2 } \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) - 2x^2 \leqslant 0
}}
β) Είναι
Για να ορίζεται η g πρέπει και αρκεί το υπόριζο να είναι μη αρνητικός αριθμός δηλαδή
γ) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα και γνησίως αύξουσα στο διάστημα
δ) Είναι
\displaystyle{\displaystyle{
\left\{ \begin{gathered}
f\left( {1 - x} \right) = 2\left( {1 - x - 1} \right)^2 - 3 = 2\left( { - x} \right)^2 - 3 = 2x^2 - 3 \hfill \\
f\left( {1 + x} \right) = 2\left( {1 + x - 1} \right)^2 - 3 = 2x^2 - 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{f\left( {1 - x} \right) = f\left( {1 + x} \right) = 2x^2 - 3}
}\displaystyle{
g\left( 0 \right) = \ldots \sqrt 5 \Rightarrow C_g \cap y'y = \boxed{K\left( {0,\sqrt 5 } \right)}
}\displaystyle{
g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\sqrt { - x^2 + 4x + 5} = 0 \hfill \\
- 1 \leqslant x \leqslant 5 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
- x^2 + 4x + 5 = 0 \hfill \\
- 1 \leqslant x \leqslant 5 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = - 1,x = 5 \Rightarrow
}}
στ) Η κορυφή της παραβολής είναι
Άρα ζητάμε φανερά την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Ν και Μ
Είναι προφανώς της μορφής (λόγω διαφορετικών τετμημένων των σημείων Μ και Ν)
Έχουμε:
Πάντα φιλικά
Στάθης Κούτρας
Α) Είναι
και
\displaystyle{\displaystyle{
\Rightarrow \kappa ^2 - 2\kappa + 1 = 0 \Rightarrow \left( {\kappa - 1} \right)^2 = 0 \Rightarrow \ldots \boxed{\kappa = 1}
}\displaystyle{
\kappa = 1,\lambda = 3 \Rightarrow \boxed{f\left( x \right) = 2x^2 - 4x - 1}
}\displaystyle{
\left| {f\left( x \right) - 2x^2 } \right| = 2x^2 - f\left( x \right) = - \left( {f\left( x \right) - 2x^2 } \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) - 2x^2 \leqslant 0
}}
β) Είναι
Για να ορίζεται η g πρέπει και αρκεί το υπόριζο να είναι μη αρνητικός αριθμός δηλαδή
γ) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα και γνησίως αύξουσα στο διάστημα
δ) Είναι
\displaystyle{\displaystyle{
\left\{ \begin{gathered}
f\left( {1 - x} \right) = 2\left( {1 - x - 1} \right)^2 - 3 = 2\left( { - x} \right)^2 - 3 = 2x^2 - 3 \hfill \\
f\left( {1 + x} \right) = 2\left( {1 + x - 1} \right)^2 - 3 = 2x^2 - 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{f\left( {1 - x} \right) = f\left( {1 + x} \right) = 2x^2 - 3}
}\displaystyle{
g\left( 0 \right) = \ldots \sqrt 5 \Rightarrow C_g \cap y'y = \boxed{K\left( {0,\sqrt 5 } \right)}
}\displaystyle{
g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\sqrt { - x^2 + 4x + 5} = 0 \hfill \\
- 1 \leqslant x \leqslant 5 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
- x^2 + 4x + 5 = 0 \hfill \\
- 1 \leqslant x \leqslant 5 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = - 1,x = 5 \Rightarrow
}}
στ) Η κορυφή της παραβολής είναι
Άρα ζητάμε φανερά την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Ν και Μ
Είναι προφανώς της μορφής (λόγω διαφορετικών τετμημένων των σημείων Μ και Ν)
Έχουμε:
Πάντα φιλικά
Στάθης Κούτρας
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
Αν και με πρόλαβε για λίγο ο Στάθης και οι πράξεις είναι σύντομες....την δίνω για τον κόπο....
Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Μαθηματικός
- Μάκης Χατζόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 2456
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη
Αρχικά Μίλτο πρέπει να ομολογήσω ότι κάνεις μια αξιέπαινη προσπάθεια στην Α΄ Λυκείου, όπως αξιοσημείωτο είναι και το ενδιαφέρον που δείχνει ο Στάθης με τις όμορφες λύσεις που μας παρουσιάζει.m.pαpαgrigorakis έγραψε: Μάκη δεν έχω μελετήσει αναλυτικά τις οδηγίες επειδή δεν διδάσκω φέτος στην Α Λυκείου. Αυτός είναι ο λόγος που έβαλα και το σχόλιο ότι "πιθανόν κάποια ερωτήματα να ξεφεύγουν από το αυστηρό πλαίσιο της διδακτέας ύλης"
Τις ασκήσεις αυτές τις συνθέτω τις τελευταίες μέρες. Τις δίνω για επανάληψη στο γιος μου που πάει στην Α Λυκείου.
Σκέφτηκα ότι ίσως φανούν χρήσιμες και σε κάποιον άλλο, αφού βέβαια τις προσαρμόσει κατάλληλα για αυτό και τις ανεβάζω εδώ.
Νομίζω ότι έχετε υποχρέωση να τα μαζέψετε και να τα κάνετε ένα όμορφο φυλλαδιάκι!!
Ένσταση! Μιας που κάνεις τον κόπο (ή κάνετε), γιατί δεν θέτεις ασκήσεις εντός της ύλης, να φανούν χρήσιμες σε όλους αλλά και στον υιό σου;;
Όλοι μας έχουμε σημειώσεις - ασκήσεις από την παλιά ύλη - βιβλίο, άρα θα ήταν ωφέλιμο να φρεσκάρουμε τα αρχεία μας με νέα σύγχρονα θέματα προσαρμοσμένα στο νέο βιβλίο, στην νέα ύλη και να μην αναπαράγουμε παλιές ασκήσεις, τι λες;;
Δίνω μια άσκηση με αυτό το σκεπτικό!!
Άσκηση 6η
Δίνεται το τριώνυμο, όπου λ πραγματικός αριθμός.
α. Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου ισούται με: Δ = 4(λ – 5)(λ – 3).
β. Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
γ. Αν , είναι οι άνισες ρίζες του τριωνύμου, να βρείτε το λ αν ισχύει:
= 0,75
δ. Να βρείτε τις τιμές του ώστε για κάθε πραγματικό αριθμό x.
Σημείωση: Αν θέλουμε να το ψειρίσουμε και το γ υποερώτημα είναι εκτός του πνεύματος του νέου βιβλίου...
edit: διόρθωση του Latex
τελευταία επεξεργασία από Μάκης Χατζόπουλος σε Τρί Απρ 26, 2011 7:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες