Επαναληπτική άσκηση (2)
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
Επαναληπτική άσκηση (2)
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το διάστημα (0 , +) , τέτοια ώστε :
Η g΄ διατηρεί πρόσημο στο (0 , +)
1 - g(x) x - 1 για κάθε x > 0 .
η Cg δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη , αλλά έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη τον άξονα ψ΄ψ .
Α. α) Να αποδείξετε ότι g΄(1) = 1 --------------- β) Η g έχει σύνολο τιμών το R
B. Έστω ακόμη η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο xo = 1 για την οποία ισχύει:
f(g(x) + 1) = ex(g(x) - 1) για κάθε x > 0 .
Να αποδείξετε ότι:
α) f΄(1) = 0 ----------------- β) = 2e
γ) Η εξίσωση f(x) + xf΄(x) - f΄(x) = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (1 , 2) , με επιπλέον δεδομένο ότι η f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάστημα (0 , +) .
Γιώργος
Η g΄ διατηρεί πρόσημο στο (0 , +)
1 - g(x) x - 1 για κάθε x > 0 .
η Cg δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη , αλλά έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη τον άξονα ψ΄ψ .
Α. α) Να αποδείξετε ότι g΄(1) = 1 --------------- β) Η g έχει σύνολο τιμών το R
B. Έστω ακόμη η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο xo = 1 για την οποία ισχύει:
f(g(x) + 1) = ex(g(x) - 1) για κάθε x > 0 .
Να αποδείξετε ότι:
α) f΄(1) = 0 ----------------- β) = 2e
γ) Η εξίσωση f(x) + xf΄(x) - f΄(x) = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (1 , 2) , με επιπλέον δεδομένο ότι η f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάστημα (0 , +) .
Γιώργος
Γιώργος Ροδόπουλος
Re: Επαναληπτική άσκηση (2)
Α) Άμεσα προκύπτει ότι . Για παίρνω και με κριτήριο παρεμβολής
(αφού κάνω το ίδιο για ) , έχω άρα , δηλαδή g γνησίως αύξουσα.
Συνεπώς επειδή είναι και αφού
δεν έχω οριζόντια ασύμπτωτη , συνεπώς (*)
Βα) Θέτοντας στη δοθείσα παίρνω
Τώρα . Επειδή , θέτοντας
ισχύει και έτσι :
Ββ) Αφού με προκύπτει ..
Βγ) Υπάρχει ώστε ,(λόγω της (*)) . Είναι .
Θεωρώ και είναι : , και επειδή παραγωγίσιμη , με χρήση Θ. Rolle προκύπτει..
(αφού κάνω το ίδιο για ) , έχω άρα , δηλαδή g γνησίως αύξουσα.
Συνεπώς επειδή είναι και αφού
δεν έχω οριζόντια ασύμπτωτη , συνεπώς (*)
Βα) Θέτοντας στη δοθείσα παίρνω
Τώρα . Επειδή , θέτοντας
ισχύει και έτσι :
Ββ) Αφού με προκύπτει ..
Βγ) Υπάρχει ώστε ,(λόγω της (*)) . Είναι .
Θεωρώ και είναι : , και επειδή παραγωγίσιμη , με χρήση Θ. Rolle προκύπτει..
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Παρ Ιαν 21, 2011 11:32 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: Επαναληπτική άσκηση (2)
Φίλε KARKAR ευχαριστώ για την λύση σου
Νομίζω πως στο Β β) δεν μπορούμε να πάμε με DLP και στο Β γ) χρειάζεται κάποια αιτιολόγηση γιατί f(2) = 0
Γιώργος
Νομίζω πως στο Β β) δεν μπορούμε να πάμε με DLP και στο Β γ) χρειάζεται κάποια αιτιολόγηση γιατί f(2) = 0
Γιώργος
Γιώργος Ροδόπουλος
- ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 704
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ
Re: Επαναληπτική άσκηση (2)
Μια λύση για το Β α)
Ισχύει (1) και αν
η (1) γράφεται
Οι συναρτήσεις d και k είναι παραγωγίσιμες στο 1 . Η h είναι παραγωγίσιμη στο 1 και η f είναι παραγωγίσιμη στο h(1) =1 οπότε η f o h είναι παραγωγίσιμη στο 1.
Έτσι
Γιώργος
Ισχύει (1) και αν
η (1) γράφεται
Οι συναρτήσεις d και k είναι παραγωγίσιμες στο 1 . Η h είναι παραγωγίσιμη στο 1 και η f είναι παραγωγίσιμη στο h(1) =1 οπότε η f o h είναι παραγωγίσιμη στο 1.
Έτσι
Γιώργος
Γιώργος Ροδόπουλος
Re: Επαναληπτική άσκηση (2)
Ζητείται το , με δεδομένα : ,
παραγωγίσιμη στο , με ,
αλλά χωρίς να γνωρίζουμε αν η είναι παραγωγίσιμη για .
Δεν έχω πεισθεί ότι δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε κανόνα ,
για τον υπολογισμό του παραπάνω ορίου.
παραγωγίσιμη στο , με ,
αλλά χωρίς να γνωρίζουμε αν η είναι παραγωγίσιμη για .
Δεν έχω πεισθεί ότι δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε κανόνα ,
για τον υπολογισμό του παραπάνω ορίου.
Re: Επαναληπτική άσκηση (2)
Για να εφαρμόσουμε DLP δεν πρέπει να γνωρίζουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη κοντά στο1 ;KARKAR έγραψε:Ζητείται το , με δεδομένα : ,
παραγωγίσιμη στο , με ,
αλλά χωρίς να γνωρίζουμε αν η είναι παραγωγίσιμη για .
Δεν έχω πεισθεί ότι δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε κανόνα ,
για τον υπολογισμό του παραπάνω ορίου.
Γιώργος
Γιώργος Ροδόπουλος
Re: Επαναληπτική άσκηση (2)
Και όμως ..
Παραθέτω την παρακάτω απόδειξη του ου κανόνα .
Αν ορίζονται σε μια περιοχή του , και παραγωγίζονται στο , ώστε :
και επιπλέον : ,
Τότε ισχύει : . Πράγματι ..
Αφού , παραγωγίζονται στο , είναι συνεχείς στο και επομένως : .
Τώρα έχω : και όμοια :
Συνεπώς :
Παραθέτω την παρακάτω απόδειξη του ου κανόνα .
Αν ορίζονται σε μια περιοχή του , και παραγωγίζονται στο , ώστε :
και επιπλέον : ,
Τότε ισχύει : . Πράγματι ..
Αφού , παραγωγίζονται στο , είναι συνεχείς στο και επομένως : .
Τώρα έχω : και όμοια :
Συνεπώς :
Re: Επαναληπτική άσκηση (2)
Φίλε KARKAR σωστά είναι όσα γράφεις παραπάνω.
Στο σχολικό βιβλίο όμως -αν δεν κάνω λάθος- υπάρχει άλλο θεώρημα.
Γιώργος
Στο σχολικό βιβλίο όμως -αν δεν κάνω λάθος- υπάρχει άλλο θεώρημα.
Γιώργος
Γιώργος Ροδόπουλος
-
- Δημοσιεύσεις: 37
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 31, 2009 2:22 pm
Re: Επαναληπτική άσκηση (2)
Στο σχολικό βιβλίο (έκδοση 2010) αναφέρει:hsiodos έγραψε: Φίλε KARKAR σωστά είναι όσα γράφεις παραπάνω.
Στο σχολικό βιβλίο όμως -αν δεν κάνω λάθος- υπάρχει άλλο θεώρημα.
Γιώργος
Αν , , και υπάρχει το (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε:
Για ποιον λόγο δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα;
EDIT: Ίσως λόγω του ότι δεν γνωρίσουμε τη συνέχεια της στο , ώστε να είναι: ;
Επειδή σε διαφορετικά βιβλία βλέπω διαφορετικές διατυπώσεις του Κανόνα, τελικά είναι απαραίτητη η προϋπόθεση να είναι οι και παραγωγίσιμες κοντά στο ;hsiodos έγραψε: Για να εφαρμόσουμε DLP δεν πρέπει να γνωρίζουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη κοντά στο1 ;
Γιώργος
Re: Επαναληπτική άσκηση (2)
Λέω την γνώμη μουkoutourou έγραψε:Στο σχολικό βιβλίο (έκδοση 2010) αναφέρει:hsiodos έγραψε: Φίλε KARKAR σωστά είναι όσα γράφεις παραπάνω.
Στο σχολικό βιβλίο όμως -αν δεν κάνω λάθος- υπάρχει άλλο θεώρημα.
Γιώργος
Αν , , και υπάρχει το (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε:
Για ποιον λόγο δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα;
EDIT: Ίσως λόγω του ότι δεν γνωρίσουμε τη συνέχεια της στο , ώστε να είναι: ;
Επειδή σε διαφορετικά βιβλία βλέπω διαφορετικές διατυπώσεις του Κανόνα, τελικά είναι απαραίτητη η προϋπόθεση να είναι οι και παραγωγίσιμες κοντά στο ;hsiodos έγραψε: Για να εφαρμόσουμε DLP δεν πρέπει να γνωρίζουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη κοντά στο1 ;
Γιώργος
Στο Θεώρημα του βιβλίου υπονοείται (δεν το γράφει) ότι πρέπει οι f , g να είναι παραγωγίσιμες κοντά στο (όχι κατ' ανάγκη στο ) , έτσι ώστε να έχει νόημα το
Γιώργος
Γιώργος Ροδόπουλος
Re: Επαναληπτική άσκηση (2)
Και εγώ αυτό γνωρίζω ότι για να εφαρμόσουμε το D.L.P δεν αρκεί οι f,g να παραγωγίζονται μόνο στο αλλά πρέπει να παραγωγίζονται σε περιοχή του χωρίς ενδεχομένως στο
Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Μαθηματικός
-
- Δημοσιεύσεις: 37
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 31, 2009 2:22 pm
Re: Επαναληπτική άσκηση (2)
Και εγώ αυτό υποστηρίζω.
Απλά, στη συγκεκριμένη άσκηση και αν γνωρίζαμε ότι η είναι συνεχής στο θα μπορούσε ο μαθητής να πάρει όλα τα μόρια για την άσκηση χρησιμοποιώντας DLH; (σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο πάντα)
Απλά, στη συγκεκριμένη άσκηση και αν γνωρίζαμε ότι η είναι συνεχής στο θα μπορούσε ο μαθητής να πάρει όλα τα μόρια για την άσκηση χρησιμοποιώντας DLH; (σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο πάντα)
Re: Επαναληπτική άσκηση (2)
Μπορούμε να καταλήξουμε ως εξής :
Περίπτωση 1η. Αν παραγωγίσιμες στο , ,
και , τότε : ,
(και δεν μας απασχολεί η παραγωγισιμότητα των για ).
Περίπτωση 2η. Αν δεν γνωρίζουμε αν οι παραγωγίζονται στο , αλλά παραγωγίζονται "κοντά" στο
και , τότε : , εφόσον το τελευταίο όριο υπάρχει.
Σημ 1. Αν οι είναι συνεχείς στο τα αποτελέσματα των 2 περιπτώσεων συμπίπτουν.
Σημ 2. Στο Σχολικό βιβλίο , όντως , δεν αναφέρεται η 1η περίπτωση , παρότι σ' αυτή ανήκει η συντριπτική
πλειοψηφία των ασκήσεων. (Πιθανόν διότι αντιμετωπίζονται και με την περίπτωση 2 )
Ανακύπτει τώρα το ζήτημα της βαθμολόγησης γραπτού , μαθητή που χρησιμοποιεί τον κανόνα της περίπτωσης 1.
Παρότι η πιθανότητα να "πέσει" σχολικό θέμα , περίπτωση με τόσα "ψιλά γράμματα" , νομίζω ότι ο βαθμολογητής
δεν πρέπει να αφαιρέσει μονάδες με το επιχείρημα ότι αυτό πρέπει να αποδειχθεί ,
δεδομένου ότι ούτε η 2η περίπτωση έχει αποδειχθεί ! (και πάντως εδώ επιτρέπεται να το χρησιμοποιούμε ! )
Περίπτωση 1η. Αν παραγωγίσιμες στο , ,
και , τότε : ,
(και δεν μας απασχολεί η παραγωγισιμότητα των για ).
Περίπτωση 2η. Αν δεν γνωρίζουμε αν οι παραγωγίζονται στο , αλλά παραγωγίζονται "κοντά" στο
και , τότε : , εφόσον το τελευταίο όριο υπάρχει.
Σημ 1. Αν οι είναι συνεχείς στο τα αποτελέσματα των 2 περιπτώσεων συμπίπτουν.
Σημ 2. Στο Σχολικό βιβλίο , όντως , δεν αναφέρεται η 1η περίπτωση , παρότι σ' αυτή ανήκει η συντριπτική
πλειοψηφία των ασκήσεων. (Πιθανόν διότι αντιμετωπίζονται και με την περίπτωση 2 )
Ανακύπτει τώρα το ζήτημα της βαθμολόγησης γραπτού , μαθητή που χρησιμοποιεί τον κανόνα της περίπτωσης 1.
Παρότι η πιθανότητα να "πέσει" σχολικό θέμα , περίπτωση με τόσα "ψιλά γράμματα" , νομίζω ότι ο βαθμολογητής
δεν πρέπει να αφαιρέσει μονάδες με το επιχείρημα ότι αυτό πρέπει να αποδειχθεί ,
δεδομένου ότι ούτε η 2η περίπτωση έχει αποδειχθεί ! (και πάντως εδώ επιτρέπεται να το χρησιμοποιούμε ! )
Re: Επαναληπτική άσκηση (2)
Φίλε KARKAR δεν πρέπει να μπερδεύουμε τους μαθητές που μας παρακολουθούν. Εδώ είναι χώρος ασκήσεων που απευθύνεται (και) σε μαθητές Γ΄Λυκείου.KARKAR έγραψε:Μπορούμε να καταλήξουμε ως εξής :
Περίπτωση 1η. Αν παραγωγίσιμες στο , ,
και , τότε : ,
(και δεν μας απασχολεί η παραγωγισιμότητα των για ).
Περίπτωση 2η. Αν δεν γνωρίζουμε αν οι παραγωγίζονται στο , αλλά παραγωγίζονται "κοντά" στο
και , τότε : , εφόσον το τελευταίο όριο υπάρχει.
Σημ 1. Αν οι είναι συνεχείς στο τα αποτελέσματα των 2 περιπτώσεων συμπίπτουν.
Σημ 2. Στο Σχολικό βιβλίο , όντως , δεν αναφέρεται η 1η περίπτωση , παρότι σ' αυτή ανήκει η συντριπτική
πλειοψηφία των ασκήσεων. (Πιθανόν διότι αντιμετωπίζονται και με την περίπτωση 2 )
Ανακύπτει τώρα το ζήτημα της βαθμολόγησης γραπτού , μαθητή που χρησιμοποιεί τον κανόνα της περίπτωσης 1.
Παρότι η πιθανότητα να "πέσει" σχολικό θέμα , περίπτωση με τόσα "ψιλά γράμματα" , νομίζω ότι ο βαθμολογητής
δεν πρέπει να αφαιρέσει μονάδες με το επιχείρημα ότι αυτό πρέπει να αποδειχθεί ,
δεδομένου ότι ούτε η 2η περίπτωση έχει αποδειχθεί ! (και πάντως εδώ επιτρέπεται να το χρησιμοποιούμε ! )
Επομένως όσον αφορά τον DLP χρησιμοποιούμε μόνο το θεώρημα του βιβλίου, αυτό εξ ' άλλου επαρκεί για την αντιμετώπιση των ανάλογων ασκήσεων. Οι λύσεις που παρουσιάζουμε πρέπει να είναι βασισμένες στη σχολική ύλη και αν κάποια στιγμή χρησιμοποιούμε θεώρημα εκτός ύλης πρέπει να το αναφέρουμε ρητά.
Γιώργος
Γιώργος Ροδόπουλος
Re: Επαναληπτική άσκηση (2)
hsiodos έγραψε:Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το διάστημα (0 , +) , τέτοια ώστε :
Η g΄ διατηρεί πρόσημο στο (0 , +)
1 - g(x) x - 1 για κάθε x > 0 .
η Cg δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη , αλλά έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη τον άξονα ψ΄ψ .
Α. α) Να αποδείξετε ότι g΄(1) = 1 --------------- β) Η g έχει σύνολο τιμών το R
B. Έστω ακόμη η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο xo = 1 για την οποία ισχύει:
f(g(x) + 1) = ex(g(x) - 1) για κάθε x > 0 .
Να αποδείξετε ότι:
α) f΄(1) = 0 ----------------- β) = 2e
γ) Η εξίσωση f(x) + xf΄(x) - f΄(x) = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (1 , 2) , με επιπλέον δεδομένο ότι η f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάστημα (0 , +) .
Γιώργος
Σχολική λύση για το Αβ υπάρχει;
Re: Επαναληπτική άσκηση (2)
Κώστα νομίζω πως η λύση που έχει δοθεί πιο πάνω είναι σχολική.(Ουσιαστικά ξαναγράφω την ίδια)
Η g' διατηρεί πρόσημο και επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα στο
Επομένως το σύνολο τιμών της g είναι το διάστημα
με (τα προηγούμενα όρια υπάρχουν)
Η g δεν έχει οριζόντια ασύμπωτη στο οπότε . Αλλά το Β είναι δεξιό άκρο ανοικτού διαστήματος και έτσι .
Η g έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία χ = 0 , άρα . Το Α είναι αριστερό άκρο ανοικτού διαστήματος και έτσι
Γιώργος
Η g' διατηρεί πρόσημο και επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα στο
Επομένως το σύνολο τιμών της g είναι το διάστημα
με (τα προηγούμενα όρια υπάρχουν)
Η g δεν έχει οριζόντια ασύμπωτη στο οπότε . Αλλά το Β είναι δεξιό άκρο ανοικτού διαστήματος και έτσι .
Η g έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία χ = 0 , άρα . Το Α είναι αριστερό άκρο ανοικτού διαστήματος και έτσι
Γιώργος
Γιώργος Ροδόπουλος
Re: Επαναληπτική άσκηση (2)
Γιώργο, αντιλαμβάνομαι την λύση, η τεκμηρίωση με απασχολεί.hsiodos έγραψε:Κώστα νομίζω πως η λύση που έχει δοθεί πιο πάνω είναι σχολική.(Ουσιαστικά ξαναγράφω την ίδια)
Η g' διατηρεί πρόσημο και επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα στο
Επομένως το σύνολο τιμών της g είναι το διάστημα
με (τα προηγούμενα όρια υπάρχουν)
Η g δεν έχει οριζόντια ασύμπωτη στο οπότε . Αλλά το Β είναι δεξιό άκρο ανοικτού διαστήματος και έτσι .
Η g έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία χ = 0 , άρα . Το Α είναι αριστερό άκρο ανοικτού διαστήματος και έτσι
Γιώργος
Aς υποθέσουμε ότι στο ερώτημα που μπορεί να τεθεί σε κάποιο θέμα:
«να αποδειχτεί ότι, υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο β»
κάποιος απαντάει:
«αφού η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε το σύνολο τιμών της είναι το (Α,Β) κ.λπ., επομένως το όριο υπάρχει»,
βάζοντας, έτσι, στο παιχνίδι το εκτός ύλης θεώρημα: Κάθε γνησίως μονότονη έχει όριο.
Είναι σωστός ή κινδυνεύει να χάσει μόρια και - σαν παράδειγμα, για το μέγεθος της ευθύνης μας μιλάω τώρα-, αντί Βιολογικό Αθήνας θα περάσει Κρήτη, όπου θα περάσει τέλεια φοιτητική ζωή, βέβαια, αλλά με κόστος 30-60 χιλιάδες ευρώ;
Re: Επαναληπτική άσκηση (2)
Κώστα πιστεύω πως δεν υπάρχει πρόβλημα.rek2 έγραψε:
Γιώργο, αντιλαμβάνομαι την λύση, η τεκμηρίωση με απασχολεί.
Aς υποθέσουμε ότι στο ερώτημα που μπορεί να τεθεί σε κάποιο θέμα:
«να αποδειχτεί ότι, υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο β»
κάποιος απαντάει:
«αφού η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε το σύνολο τιμών της είναι το (Α,Β) κ.λπ., επομένως το όριο υπάρχει»,
βάζοντας, έτσι, στο παιχνίδι το εκτός ύλης θεώρημα: Κάθε γνησίως μονότονη έχει όριο.
Είναι σωστός ή κινδυνεύει να χάσει μόρια και - σαν παράδειγμα, για το μέγεθος της ευθύνης μας μιλάω τώρα-, αντί Βιολογικό Αθήνας θα περάσει Κρήτη, όπου θα περάσει τέλεια φοιτητική ζωή, βέβαια, αλλά με κόστος 30-60 χιλιάδες ευρώ;
Στο σχολικό αναφέρεται (χωρίς να το λέει θεώρημα) ότι αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα ( α, β) τότε έχει σύνολο τιμών το επίσης ανοικτό διάστημα (ανάλογα του είδους μονοτονίας) όπου .
Αφού λοιπόν το σύνολο τιμών είναι αυτό που γράφεται στο βιβλίο , δεν συνάγεται ότι και τα αντίστοιχα όρια υπάρχουν;
Γιώργος
Γιώργος Ροδόπουλος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες