Τριάδα(Nιάδα) 1η
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
- Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
- Δημοσιεύσεις: 1112
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
- Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Τριάδα(Nιάδα) 1η
Καλημέρα σε όλους.
Ας φτιάξουμε στο φάκελλο αυτό μια σειρά ασκήσεων σε όλη την ύλη, από απλές έως θέματα εξετάσεων.
Ξεκινάω με τη πρώτη τριάδα θεμάτων: Μιγαδικοί, Όρια , Παράγωγοι
Άσκηση 1
Δίνονται οι μιγαδικοί και , . Αν , να δειχθεί ότι: .
Άσκηση 2*
Έστω η συνάρτηση με την ιδιότητα για κάθε .
Να υπολογισθούν τα όρια:
i.
ii. .
iii. .
Άσκηση 3*
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση με f(0)=0 και για την οποία ισχύει για κάθε ότι:
. Να δειχθεί ότι υπάρχει ώστε να ισχύει: για κάθε .
Να έχουμε μια καλή μέρα,
Θωμάς
Ας φτιάξουμε στο φάκελλο αυτό μια σειρά ασκήσεων σε όλη την ύλη, από απλές έως θέματα εξετάσεων.
Ξεκινάω με τη πρώτη τριάδα θεμάτων: Μιγαδικοί, Όρια , Παράγωγοι
Άσκηση 1
Δίνονται οι μιγαδικοί και , . Αν , να δειχθεί ότι: .
Άσκηση 2*
Έστω η συνάρτηση με την ιδιότητα για κάθε .
Να υπολογισθούν τα όρια:
i.
ii. .
iii. .
Άσκηση 3*
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση με f(0)=0 και για την οποία ισχύει για κάθε ότι:
. Να δειχθεί ότι υπάρχει ώστε να ισχύει: για κάθε .
Να έχουμε μια καλή μέρα,
Θωμάς
Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Τριάδα 1η
Θωμά καλημέρα.
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Ισχύει ότι: ,
άρα .
Όμως , άρα ,
οπότε ή .
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Ισχύει ότι: ,
άρα .
Όμως , άρα ,
οπότε ή .
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Τριάδα 1η
Συνέχεια ...
ΑΣΚΗΣΗ 2η
* Για x=y=w=1, η αρχική δίνει: .
* Για x=y=w, η αρχική δίνει: .
* Για y=w=1, η αρχική δίνει: .
Οι (Ι) και (ΙΙ) δίνουν ότι .
Συνεπώς:
i.
ii. ,
αφού
iii. .
ΑΣΚΗΣΗ 2η
* Για x=y=w=1, η αρχική δίνει: .
* Για x=y=w, η αρχική δίνει: .
* Για y=w=1, η αρχική δίνει: .
Οι (Ι) και (ΙΙ) δίνουν ότι .
Συνεπώς:
i.
ii. ,
αφού
iii. .
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Τριάδα 1η
Ας τελειώσω την 1η τριάδα...
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Για η αρχική σχέση γίνεται:
.
* Για έχουμε:,
όπου παίρνοντας το όριο για (και αφού η f είναι παραγωγίσιμη) βρίσκουμε ότι:
* Για έχουμε:,
όπου παίρνοντας το όριο για (και αφού η f είναι παραγωγίσιμη) βρίσκουμε ότι:
Από τις (ΙΙ) και (ΙΙΙ) προκύπτει ότι: ,οπότε , όπου c σταθερά.
Όμως f(0) = 0, οπότε c=0 και .
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Για η αρχική σχέση γίνεται:
.
* Για έχουμε:,
όπου παίρνοντας το όριο για (και αφού η f είναι παραγωγίσιμη) βρίσκουμε ότι:
* Για έχουμε:,
όπου παίρνοντας το όριο για (και αφού η f είναι παραγωγίσιμη) βρίσκουμε ότι:
Από τις (ΙΙ) και (ΙΙΙ) προκύπτει ότι: ,οπότε , όπου c σταθερά.
Όμως f(0) = 0, οπότε c=0 και .
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
- Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
- Δημοσιεύσεις: 1112
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
- Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Τριάδα 1η
Λευτέρη εξαιρετικές, όπως πάντα, οι λύσεις σου και ευχαριστώ.
Να είσαι καλά.
Να είσαι καλά.
Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Re: Τριάδα 1η
Συνεχίζω με μια εύκολη....
.
Μόλις παρατήρησα ότι είμαι εκτός κατηγορίας (μιγαδικοί όρια παράγωγοι)....τέλος πάντων δεν την σβήνω τελείως......επιφυλάσσομαι.
.
Μόλις παρατήρησα ότι είμαι εκτός κατηγορίας (μιγαδικοί όρια παράγωγοι)....τέλος πάντων δεν την σβήνω τελείως......επιφυλάσσομαι.
Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Μαθηματικός
- Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
- Δημοσιεύσεις: 1112
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
- Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Τριάδα 1η
Καλησπέρα Χρήστο.
Δεν είσαι εκτός κατηγορίας.
Οι δικές μου ασκήσεις ήταν σε αυτές τις 3 κατηγορίες.
Εσείς μπορείτε να προτείνεται όποια άσκηση θέλετε σε όποια κατηγορία και να ανήκει και όποιας δυσκολίας θέλετε.
Σε παρακαλώ επανέφερε την άσκηση.
Θωμάς
Δεν είσαι εκτός κατηγορίας.
Οι δικές μου ασκήσεις ήταν σε αυτές τις 3 κατηγορίες.
Εσείς μπορείτε να προτείνεται όποια άσκηση θέλετε σε όποια κατηγορία και να ανήκει και όποιας δυσκολίας θέλετε.
Σε παρακαλώ επανέφερε την άσκηση.
Θωμάς
Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Re: Τριάδα 1η
pana1333 έγραψε:Συνεχίζω με μια εύκολη....
.
Μόλις παρατήρησα ότι είμαι εκτός κατηγορίας (μιγαδικοί όρια παράγωγοι)....τέλος πάντων δεν την σβήνω τελείως......επιφυλάσσομαι.
Ωραία λοιπόν....
Συνεχίζω με μια εύκολη....
ΑΣΚΗΣΗ 4 "ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO"
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση . Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον λύση στο .
Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Μαθηματικός
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Τριάδα 1η
Αν είναι , ρίζα της εξίσωσης είναι το .pana1333 έγραψε:pana1333 έγραψε:Συνεχίζω με μια εύκολη....
.
Μόλις παρατήρησα ότι είμαι εκτός κατηγορίας (μιγαδικοί όρια παράγωγοι)....τέλος πάντων δεν την σβήνω τελείως......επιφυλάσσομαι.
Ωραία λοιπόν....
Συνεχίζω με μια εύκολη....
ΑΣΚΗΣΗ 4 "ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO"
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση . Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον λύση στο .
Ας είναι τώρα
Η συνάρτηση με
είναι συνεχής στο και
Το συμπέρασμα έπεται από το θεώρημα Bolzano.
Μάγκος Θάνος
- Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
- Δημοσιεύσεις: 1112
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
- Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Τριάδα 1η
Να συνεχίσω πριν αρχίσω μάθημα με την 5η άσκηση που είναι σχετικά καλή.
Άσκηση 5
Να δειχθεί ότι η εξίσωση , , έχει ακριβώς μια πραγματική λύση.
Κατηγορία:
Για την ύπαρξη: Συνέχεια
Για την μοναδικότητα παράγωγος ή ότι άλλο σκεφτούμε
Καλό μας απόγευμα,
Θωμάς
Άσκηση 5
Να δειχθεί ότι η εξίσωση , , έχει ακριβώς μια πραγματική λύση.
Κατηγορία:
Για την ύπαρξη: Συνέχεια
Για την μοναδικότητα παράγωγος ή ότι άλλο σκεφτούμε
Καλό μας απόγευμα,
Θωμάς
Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Re: Τριάδα 1η
Γρήγορα καποιες σκέψεις.
Θέτουμε .
, άρα είναι γν. φθίνουσα στο . Τέλος και . Από μονοτονία + θ. Bolzano παίρνουμε το ζητούμενο.
Συμπληρωματικό ερώτημα.
Να δειχθεί ότι η ρίζα της f βρίσκεται στο διάστημα [-2,-1].
Θέτουμε .
, άρα είναι γν. φθίνουσα στο . Τέλος και . Από μονοτονία + θ. Bolzano παίρνουμε το ζητούμενο.
Συμπληρωματικό ερώτημα.
Να δειχθεί ότι η ρίζα της f βρίσκεται στο διάστημα [-2,-1].
What's wrong with a Greek in Hamburg?
Re: Τριάδα 1η
ΑΣΚΗΣΗ 6
Είναι η 9Γ2 σελίδα 72 από τα αρχεία ΕΔΩ
Αν να δειχθεί ότι η δεν μπορεί να είναι συνεχής στο
(Λύνεται με σχολική ύλη)
Είναι η 9Γ2 σελίδα 72 από τα αρχεία ΕΔΩ
Αν να δειχθεί ότι η δεν μπορεί να είναι συνεχής στο
(Λύνεται με σχολική ύλη)
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Τριάδα 1η
Έστω ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στοR BORIS έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 6
Είναι η 9Γ2 σελίδα 72 από τα αρχεία ΕΔΩ
Αν να δειχθεί ότι η δεν μπορεί να είναι συνεχής στο
(Λύνεται με σχολική ύλη)
Θέτουμε στη δοθείσα και προκύπτει άρα δηλαδή
Τότε, η είναι συνεχής στο διάστημα και λαμβάνει ετερόσημες τιμές στα άκρα του διαστήματος.
Επομένως, από το θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε
Θέτοντας στην αρχική , προκύπτει δηλαδή άρα , άτοπο.
Επομένως η συνάρτηση δεν είναι συνεχής.
Μάγκος Θάνος
- Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
- Δημοσιεύσεις: 1112
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
- Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Τριάδα 1η
Καλημέρα
Συνεχίζουμε με το επόμενο μικτό θέμα.
Άσκηση 7
Δίνεται ο περιττός φυσικός ν με .
1. Να δειχθεί ότι για κάθε .
2. Αν για τον μιγαδικό ισχύει: , να δειχθεί ότι .
Θωμάς
Συνεχίζουμε με το επόμενο μικτό θέμα.
Άσκηση 7
Δίνεται ο περιττός φυσικός ν με .
1. Να δειχθεί ότι για κάθε .
2. Αν για τον μιγαδικό ισχύει: , να δειχθεί ότι .
Θωμάς
Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Τριάδα 1η
ΑΣΚΗΣΗ 7η
α) Θέτουμε και ν περιττός με .
Η f είναι παραγωγίσιμη στο με .
Συνεπώς:
*
* ,
άρα
* η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ,
* η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο
οπότε παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για x=1, το f(1)=0
και ισχύει .
β) Για , έχουμε ότι:
,
αφού .
Παραλείπω ένα σχήμα Horner για το .
α) Θέτουμε και ν περιττός με .
Η f είναι παραγωγίσιμη στο με .
Συνεπώς:
*
* ,
άρα
* η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ,
* η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο
οπότε παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για x=1, το f(1)=0
και ισχύει .
β) Για , έχουμε ότι:
,
αφού .
Παραλείπω ένα σχήμα Horner για το .
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
- Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
- Δημοσιεύσεις: 1112
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
- Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Τριάδα 1η
ΑΣΚΗΣΗ 8
Καλό απόγευμα.
Ας δούμε ένα σχετικά ωραίο θέμα στη παραγωγισιμότητα.
Θεωρούμε τη συνάρτηση:
όπου Q το σύνολο των ρητών.
Να δειχθεί ότι υπάρχει ο αριθμός ο οποίος να βρεθεί.
Θωμάς
Καλό απόγευμα.
Ας δούμε ένα σχετικά ωραίο θέμα στη παραγωγισιμότητα.
Θεωρούμε τη συνάρτηση:
όπου Q το σύνολο των ρητών.
Να δειχθεί ότι υπάρχει ο αριθμός ο οποίος να βρεθεί.
Θωμάς
Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Τριάδα 1η
Για έχουμεΡαϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 8
Καλό απόγευμα.
Ας δούμε ένα σχετικά ωραίο θέμα στη παραγωγισιμότητα.
Θεωρούμε τη συνάρτηση:
όπου Q το σύνολο των ρητών.
Να δειχθεί ότι υπάρχει ο αριθμός ο οποίος να βρεθεί.
Θωμάς
Από τον ορισμό του ορίου είναι προφανές ότι το όριο της συνάρτησης αυτής στο ισούται με .
Δηλαδή
Μάγκος Θάνος
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Τριάδα 1η
Βάζω και γω δύο:
ΑΣΚΗΣΗ 9
Έστω η γνησίως αύξουσα συνάρτηση , για την οποία ισχύει
, για κάθε .
Αποδείξτε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε
Και μία από τη Ρουμανία:
ΑΣΚΗΣΗ 10
Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση , για την οποία ισχύει , για κάθε
Αποδείξτε ότι για κάθε
ΑΣΚΗΣΗ 9
Έστω η γνησίως αύξουσα συνάρτηση , για την οποία ισχύει
, για κάθε .
Αποδείξτε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε
Και μία από τη Ρουμανία:
ΑΣΚΗΣΗ 10
Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση , για την οποία ισχύει , για κάθε
Αποδείξτε ότι για κάθε
Μάγκος Θάνος
Re: Τριάδα 1η
Για να αποφύγουμε την χρήση του ορισμού μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι και να χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο παρεμβολής.matha έγραψε:Για έχουμεΡαϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 8
Καλό απόγευμα.
Ας δούμε ένα σχετικά ωραίο θέμα στη παραγωγισιμότητα.
Θεωρούμε τη συνάρτηση:
όπου Q το σύνολο των ρητών.
Να δειχθεί ότι υπάρχει ο αριθμός ο οποίος να βρεθεί.
Θωμάς
Από τον ορισμό του ορίου είναι προφανές ότι το όριο της συνάρτησης αυτής στο ισούται με .
Δηλαδή
Γιώργος
Γιώργος Ροδόπουλος
- Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
- Δημοσιεύσεις: 1112
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
- Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Τριάδα 1η
Ο ποιητής είχε στο μυαλό του το εξής (για να αποφύγει τον ορισμό που παρουσιάζει κάποιο πρόβλημα κατά την άποψή του (μου), λόγω της ιδιομορφίας των τιμών της συνάρτησης)matha έγραψε:Για έχουμεΡαϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 8
Καλό απόγευμα.
Ας δούμε ένα σχετικά ωραίο θέμα στη παραγωγισιμότητα.
Θεωρούμε τη συνάρτηση:
όπου Q το σύνολο των ρητών.
Να δειχθεί ότι υπάρχει ο αριθμός ο οποίος να βρεθεί.
Θωμάς
Από τον ορισμό του ορίου είναι προφανές ότι το όριο της συνάρτησης αυτής στο ισούται με .
Δηλαδή
Αν
Αν , επομένως
για κάθε
Μια παρόμοια λύση έδωσε και ο Γιώργος.
Θωμάς
Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης