Μονότονη συνάρτηση
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
Μονότονη συνάρτηση
Έστω συνεχής και μη σταθερή. Υποθέτουμε ότι υπάρχει συνάρτηση ώστε για κάθε . Αποδείξτε ότι η είναι γνησίως μονότονη.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Μονότονη συνάρτηση
Αρκεί να αποδείξουμε ότι η είναι 1-1. Έστω ότι αληθεύει το αντίθετο.peter έγραψε:Έστω συνεχής και μη σταθερή. Υποθέτουμε ότι υπάρχει συνάρτηση ώστε για κάθε . Αποδείξτε ότι η είναι γνησίως μονότονη.
Άρα υπάρχουν (χωρίς βλάβη ) ώστε .
Εδώ πρέπει να χρησιμοποίησουμε ένα γνωστο λήμμα, σύμφωνα με το οποίο αν η είναι συνεχής, μη σταθερή και , τότε το γράφημα της
έχει στο διάστημα οσοδήποτε μικρές θέλουμε οριζόντιες χορδές, δηλαδή για κάθε υπάρχουν
με , άρα
, άρα η είναι περιοδική, χωρίς ελάχιστη θετική περίοδο.
Και επειδή είναι και συνεχής, άρα είναι σταθερή, αντίφαση.
Σπύρος Καπελλίδης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 2 επισκέπτες