Από τα δύο σε όλα

#1

: τετρ και διαγ.png (5 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές

.
Οι διαγώνιες ενός τετραπλεύρου το χωρίζουν σε τέσσερα τρίγωνα. Τα δύο από αυτά έχουν εμβαδά E_1

και

, όπως στο σχήμα. Ποιο είναι το ελάχιστο εμβαδόν που μπορεί να έχει το ABCD

;

abgd · #2

: elaxisto emvado.png (34 KiB) Προβλήθηκε 214 φορές

Έστω $E_1=a, \ \ E_2=b$

Είναι $(ABCD)=a+b+\dfrac{OD\cdot AE}{2}+\dfrac{OB\cdot CZ}{2}$

Όμως $AE=\dfrac{2a}{OB}$ , $CZ=\dfrac{2b}{OD}$

$(ABCD)=a+b+\dfrac{OD}{OB}\cdot a+\dfrac{OB}{OD}\cdot b$

Αν $\dfrac{OB}{OD}=x$

$(ABCD)=a+b+\dfrac{a}{x}+ b\cdot x= a+b+\sqrt{ab}\left(\dfrac{\sqrt{\dfrac{a}{b}}}{x}+\dfrac{x}{\sqrt{\dfrac{a}{b}}}\right)\geq a+b+2\sqrt{ab}= \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 23, 2026 10:52 am
τετρ και διαγ.png
.
Οι διαγώνιες ενός τετραπλεύρου το χωρίζουν σε τέσσερα τρίγωνα. Τα δύο από αυτά έχουν εμβαδά και , όπως στο σχήμα. Ποιο είναι το ελάχιστο εμβαδόν που μπορεί να έχει το ;

Είναι $\dfrac{E_{1} }{E_{3} }= \dfrac{AO}{OC} = \dfrac{E_{4}}{E_{2}} \Rightarrow E_{1}.E_{2}=E_{3}.E_{4}$

Ακόμη, $E_{1}+E_{2} =ct}$ ,άρα το $(ABCD)=E_{1}+E_{2} + E_{3}+E_{4}$ γίνεται ελάχιστο,όταν $E_{3}+E_{4}$ γίνει ελάχιστο

Όμως $E_{3}.E_{4}=ct$ συνεπώς $E_{3}+E_{4}=min$ όταν $E_{3}=E_{4}$ δηλαδή όταν AB//CD

οπότε

Άρα $(ABCD)_min= E_{1}+E_{2} +2E_4= \sqrt{E_1}^2+ \sqrt{E_1}^2+2 \sqrt{E_4}^2 =(\sqrt{E_1}+\sqrt{E_2})^2$

: Από τα δύο σε όλα.png (16.28 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές

KARKAR · #4

: Τραπέζιο.png (14.74 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές

Παρατήρηση : Λόγω της ισεμβαδικότητας των τριγώνων ADC , BDC

,

κατά την μεγιστοποίηση το τετράπλευρο ABCD

είναι τραπέζιο .
...κάτι που αναφέρει ο πάνω Μιχάλης , δεν το είχα προσέξει , αλλά το είδε ο παρακάτω Μιχάλης

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 25, 2026 7:39 pm
Τραπέζιο.pngΠαρατήρηση : Λόγω της ισεμβαδικότητας των τριγώνων ,

κατά την μεγιστοποίηση το τετράπλευρο είναι τραπέζιο .

.
Σωστά, αλλά το έχει ήδη πει ο Μιχάλης παραπάνω στο σημείο
.

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 25, 2026 12:04 am

... συνεπώς ... δηλαδή όταν

abgd · #6

Στη λύση που έδωσα παραπάνω η παραλληλία AB//CD

, κατά την μεγιστοποίηση (: συμβαίνει όταν $x=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ ), αποδεικνύεται ως εξής:

$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{OB}{OD}\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{OB^2}{OD^2}\Leftrightarrow \dfrac{OA\cdot OB}{OD\cdot OC}}=\dfrac{OB^2}{OD^2}\Leftrightarrow \boxed{\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}}$ .

Άρα τα τρίγωνα $AOB, \ \ COD}$ είναι όμοια, οπότε AB//CD

Από τα δύο σε όλα

Από τα δύο σε όλα

Re: Από τα δύο σε όλα

Re: Από τα δύο σε όλα

Re: Από τα δύο σε όλα

Re: Από τα δύο σε όλα

Re: Από τα δύο σε όλα

Μέλη σε σύνδεση