Εξέχον τμήμα 7

KARKAR · #1

: Εξέχον τμήμα. 7.png (14 KiB) Προβλήθηκε 261 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, η μεσοκάθετος της διχοτόμου

, τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

.

Υπολογίστε το τμήμα SB= x

, συναρτήσει των πλευρών a , b , c

, του τριγώνου ( c < b

) .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 13, 2026 6:54 am
Εξέχον τμήμα. 7.pngΣτο τρίγωνο , η μεσοκάθετος της διχοτόμου , τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

Υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει των πλευρών , του τριγώνου ( ) .

To

είναι ισοσκελές, άρα $\theta +\dfrac{\widehat A}{2}=\dfrac{\widehat A}{2}+\widehat C \Leftrightarrow$ $\boxed{\theta =\widehat C}.$ Οπότε η

εφάπτεται στον περίκυκλο του ABC

: Εξέχον τμήμα 7.png (17.09 KiB) Προβλήθηκε 248 φορές

$\displaystyle {(x + BD)^2} = x(x + a),$ όπου $BD=\dfrac{ac}{b+c}$ και μετά τις πράξεις βρίσκω $\boxed{ x = \frac{{a{c^2}}}{{{b^2} - {c^2}}}}$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 13, 2026 6:54 am
Εξέχον τμήμα. 7.pngΣτο τρίγωνο , η μεσοκάθετος της διχοτόμου , τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

Υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει των πλευρών , του τριγώνου ( ) .

Εφόσον

διχοτόμος και

μεσοκάθετος στη διχοτόμο τα τρίγωνα AKN,ASD

είναι ισοσκελή και το τετράπλευρο AKDN

είναι ρόμβος .Από θεώρημα διχοτόμου $DB=\dfrac{ac}{c+b},DC=\dfrac{ab}{c+b},(1),DK//AC,\dfrac{KD}{NC}=\dfrac{x+BD}{x+a},(2),NC=b-KD=\dfrac{b^{2}}{c+b}. (1) ,(2)\Rightarrow x=\dfrac{ac^{2}}{c^{2}-b^{2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 13, 2026 6:54 am
Εξέχον τμήμα. 7.pngΣτο τρίγωνο , η μεσοκάθετος της διχοτόμου , τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

Υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει των πλευρών , του τριγώνου ( ) .

άρα οι πράσινες γωνίες είναι ίσες οπότε ZD//AB

Επομένως $\dfrac{CZ}{ZA}= \dfrac{CD}{DB} = \dfrac{b}{c}= \dfrac{CS}{AS}= \dfrac{a+x}{x+m}$

Με $m= \dfrac{ac}{b+c}$ κι απλές πράξεις παίρνουμε $x= \dfrac{ac^2}{b^2-c^2}$

: Εξέχον τμήμα.png (25.87 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 13, 2026 6:54 am
Εξέχον τμήμα. 7.pngΣτο τρίγωνο , η μεσοκάθετος της διχοτόμου , τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

Υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει των πλευρών , του τριγώνου ( ) .

Ας είναι : $b > c\,\,$ και $K\,\,,\,\,L$ τα μέσα των: $DB\,\,,\,\,DC$ αντίστοιχα. Αν $DK = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = m$ θα ισχύει ( Θ. διχοτόμου )

$\left\{ \begin{gathered} BK = KD = k = \frac{{ac}}{{2\left( {b + c} \right)}}\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ DL = LC = m = \frac{{ab}}{{2\left( {b + c} \right)}}\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,$ . Αλλά προφανές ότι η τετράδα , $\left( {K,L\backslash S,D} \right)$ είναι αρμονική με αναλογία :
.

: Εξέχον τμήμα 7.png (19.23 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές

.
$\dfrac{{DK}}{{DL}} = \dfrac{{SK}}{{SL}} \Leftrightarrow \dfrac{c}{b} = \dfrac{{x + k}}{{x + 2k + m}}\,\,\,\left( 3 \right)$ από τις $\left( 1 \right)\,\,,\,\,\left( 2 \right)\,\,,\,\,\left( 3 \right)$ διώχνω τα $k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,m$ και προκύπτει : $\boxed{x = \frac{{a{c^2}}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b - c} \right)}}}$

∫ot.T. · #6

Φέρνοντας παράλληλη της

από το

, έστω τέμνει την

στο

. Γνωρίζουμε ότι (T,D;B,C)=-1

και

το μέσο του

.

Μία ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε το λήμμα για το μέσο τμήματος σε αρμονική τετράδα λαμβάνοντας

$\dfrac{SB}{SC}=\left ( \dfrac{DB}{DC} \right )^{2}=\left ( \dfrac{c}{b} \right )^{2}$ και η εύρεση του

είναι πλέον απλή.

Αλλιώς μπορούμε αν αντιστρέψουμε ως προς (S,SD)

που λόγω αρμονικότητας θα μεταφέρει το

στο

και αντίστροφα.

Άρα $SB\cdot SC= SD^{2}$ που ανάγεται σε εξίσωση πρώτου βαθμού ως προς

Εξέχον τμήμα 7

Εξέχον τμήμα 7

Re: Εξέχον τμήμα 7

Re: Εξέχον τμήμα 7

Re: Εξέχον τμήμα 7

Re: Εξέχον τμήμα 7

Re: Εξέχον τμήμα 7

Μέλη σε σύνδεση