Ο μικρός μας κύκλος

KARKAR · #1

: Ο μικρός μας κύκλος.png (17.57 KiB) Προβλήθηκε 390 φορές

Τα σημεία

είναι σταθερά . Τα A , B

κινούνται στον οριζόντιο άξονα , έτσι ώστε να είναι :

$\widehat{ASB}=90^{\circ}$ . Βρείτε τον μικρότερο κύκλο , ο οποίος διέρχεται από τα σημεία A , B , P

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 23, 2025 7:52 am
Ο μικρός μας κύκλος.pngΤα σημεία είναι σταθερά . Τα κινούνται στον οριζόντιο άξονα , έτσι ώστε να είναι :

$\widehat{ASB}=90^{\circ}$ . Βρείτε τον μικρότερο κύκλο , ο οποίος διέρχεται από τα σημεία .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Kαλημέρα σε όλους. Να επιβεβαιώσω το αποτέλεσμα του Γιώργου, δίχως βεβαίως, να είναι ανάγκη, αφού ότι αναρτά ο Γιώργος είναι διπλο-τριπλοελεγμένα.

Βρήκα, με βαριά αναλυτική, που δεν τολμώ να αναρτήσω, ότι το κέντρο

του περίκυκλου κινείται στην ευθεία $\displaystyle y=-\frac{2}{5}x+\frac{12}{5}$ .

Για να έχουμε ελάχιστη ακτίνα πρέπει το

να απέχει ελάχιστα από την ευθεία.

Φέρνουμε κάθετη από το

, η οποία έχει εξίσωση $\displaystyle y=\frac{5}{2}x-\frac{5}{2}$ , οπότε το

έχει συντεταγμένες $\displaystyle Κ=(\frac{49}{29},\frac{50}{29})$ , οπότε η ελάχιστη απόσταση

είναι $\displastyle \frac{19\sqrt{29}}{29}$ .

Θα χαρώ πολύ να δω μια γεωμετρική εξήγηση, για το γεγονός ότι το κέντρο του κύκλου κινείται στην ευθεία που περνά από τα σημεία (1,2)

και

.

Υ.Γ. Αν ο Θανάσης μετακινούσε το σχήμα ένα κλικ αριστερά: S(0,3), P(2,5)

οι υπολογισμοί (με συντεταγμένες) θα ήταν κάπως απλούστεροι.
Προφανώς κάτι άλλο είχε στο νου του.

#4

Η λύση μου μπορεί να περιμένει. Προς το παρόν επεξεργάζομαι την πολύ ωραία ιδέα του Γιώργου σε γενική μορφή.

: Εικασία γ.τ.png (25.12 KiB) Προβλήθηκε 345 φορές

Τα σημεία

είναι σταθερά και τα A, B

είναι σημεία του άξονα x'x,

έτσι ώστε $A\widehat SB=90^\circ.$ Η μεσοκάθετη του

τέμνει τον x'x

στο

Φέρνω ευθεία $(\rm\epsilon)$ που διέρχεται από το

και είναι κάθετη στην PL,

όπου

η προβολή

του

στον

Εικασία: Ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων που διέρχονται από τα σημεία P, A, B

είναι

η ευθεία $(\epsilon).$ (Αναζητώ γεωμετρική λύση).

#5

Καλησπέρα σε όλους. Αναρτώ την υπολογιστική απόδειξη για την οποίαν έλεγα παραπάνω. Μετακίνησα το σχήμα μια θέση αριστερά.

: 23-11-2025 Γεωμετρία.png (31.57 KiB) Προβλήθηκε 324 φορές

Έστω $\displaystyle A\left( {a,0} \right),\;S\left( {0,3} \right),\;P\left( {2,5} \right),\;B\left( {b,0} \right)$

$\displaystyle AS \bot BS \Rightarrow \frac{3}{{ - a}} \cdot \frac{3}{{ - b}} = - 1 \Leftrightarrow b = - \frac{9}{a},\;a \ne 0$

μέσο

, $\displaystyle M\left( {\frac{{{a^2} - 9}}{{2a}},0} \right)$ . Το κέντρο

του περίκυκλου κινείται στην $\displaystyle x = \frac{{{a^2} - 9}}{{2a}}$ (1)

μέσο

, $\displaystyle N\left( {\frac{{a + 2}}{2},\frac{5}{2}} \right)$ , $\displaystyle {\lambda _{AP}} = \frac{5}{{2 - a}} \Rightarrow {\lambda _e} = \frac{{\alpha - 2}}{5}$ , όπου

μεσοκάθετη

,

$\displaystyle \left( e \right):y - \frac{5}{2} = \frac{{a - 2}}{5}\left( {x - \frac{{a + 2}}{2}} \right)$ (2). Το κέντρο

του περίκυκλου κινείται στην

.

Λύνουμε το σύστημα (1), (2) και βρίσκουμε: $\displaystyle y = \frac{{ - {a^2} + 10a + 9}}{{5a}}$

Έτσι $\displaystyle K\left( {\frac{{{a^2} - 9}}{{2a}},\frac{{ - {a^2} + 10a + 9}}{{5a}}} \right)$

Θέτω $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{{a^2} - 9}}{{2a}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} - 9}}{a}} \right)\;\;\;\\ y = \frac{{ - {a^2} + 10a + 9}}{{5a}} = - \frac{1}{5}\left( {\frac{{{a^2} - 9}}{a}} \right) + 2 \end{array} \right.$ οπότε το

κινείται στην ευθεία $\displaystyle y = - \frac{2}{5}x + 2$

Για να έχουμε ελάχιστη ακτίνα πρέπει το

να απέχει ελάχιστα από την ευθεία.

Φέρνουμε κάθετη από το

, η οποία έχει εξίσωση $\displaystyle y = \frac{5}{2}x$ , οπότε το

έχει συντεταγμένες $\displaystyle {\rm{ }}{\rm K}\left( {\frac{{20}}{{29}},\frac{{50}}{{29}}} \right)$ , οπότε η ελάχιστη απόσταση

είναι $\displaystyle \frac{{19\sqrt {29} }}{{29}}$ .

Αν μετακινηθούμε ξανά μια μονάδα δεξιά θα έχουμε τις ευθείες που αναφέρονται στην παραπάνω ανάρτηση.

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 23, 2025 7:52 am
Ο μικρός μας κύκλος.pngΤα σημεία είναι σταθερά . Τα κινούνται στον οριζόντιο άξονα , έτσι ώστε να είναι :

$\widehat{ASB}=90^{\circ}$ . Βρείτε τον μικρότερο κύκλο , ο οποίος διέρχεται από τα σημεία .

Θέτω

και το κέντρο του κύκλου $\displaystyle K\left( {\frac{{a + b}}{2},k} \right).$ Αποφεύγοντας τις πράξεις ρουτίνας έχω:

: Ο μικρός μας κύκλος.png (18.51 KiB) Προβλήθηκε 294 φορές

$\displaystyle S{A^2} + S{B^2} = A{B^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{a+b-ab=10}$ (1)

$\displaystyle {r^2} = K{B^2} = K{P^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{k=\dfrac{34-3(a+b)+ab}{10}}$ (2)

Από

καταλήγω στη σχέση, $\displaystyle {r^2} = \frac{{{{(2a - {a^2} - 10)}^2}}}{{4{{(1 - a)}^2}}} + \frac{{{{({a^2} - 12a + 2)}^2}}}{{25{{(1 - a)}^2}}},$ όπου με παραγώγους βρίσκω

$\boxed{{r_{\min }} = \frac{{19\sqrt {29} }}{{29}}}$ όταν $\boxed{a=\frac{49-\sqrt{7969}}{29}}$ Εύκολα στη συνέχεια $\boxed{b=\dfrac{49+\sqrt{7969}}{29}}$ και $\boxed{K\left( {\frac{{49}}{{29}},\frac{{50}}{{29}}} \right)}$

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 23, 2025 7:52 am
Ο μικρός μας κύκλος.pngΤα σημεία είναι σταθερά . Τα κινούνται στον οριζόντιο άξονα , έτσι ώστε να είναι :

$\widehat{ASB}=90^{\circ}$ . Βρείτε τον μικρότερο κύκλο , ο οποίος διέρχεται από τα σημεία .

Αφού $\widehat {S_{}^{}} = 90^\circ$ , αν $A\left( {a,0} \right)\,\,,\,\,B\left( {b,0} \right)$ θα είναι : $\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {BS} = 0 \Rightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) + 9 = 0 \Leftrightarrow ab = a + b - 10\,\,\left( 1 \right)$ .

Η οικογένεια των κύκλων που διέρχονται από τα A,B

έχει εξίσωση : $\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + {y^2} - ky = 0\,\,$ με

πραγματικός.

Δηλαδή , ${x^2} + {y^2} - \left( {a + b} \right)x - ky + ab = 0\,\,\,\left( 2 \right)$ .

Επειδή διέρχεται από το $P\left( {3,5} \right)$ και λόγω της $\left( 1 \right)$ θα ισχύει : $- 2\left( {a + b} \right) + 24 - 5k = 0\,\,\left( 3 \right)$ .

Για κάθε $L\left( {x,y} \right)$ θα είναι , $2x = a + b\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,2y = k$ , λόγω δε της $\left( 3 \right)$ προκύπτει : $\displaystyle \,\,\varepsilon \,:\,\,\,\,\boxed{2x + 5y - 12 = 0}\,\,\,$ .
.

: Ο Μικρός μας κύκλος.png (31.09 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές

.
Παριστάνει (όπως πολύ σωστά αναφέρει ο κ. Γιώργος Ρίζος) τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων

των κύκλων $\left( {A,B,P} \right)$ καθώς τα $A\,\,,\,\,B$ κινούνται στο οριζόντιο άξονα και $\widehat {ASB} = 90^\circ$ .

Ο πιο μικρός απ’ αυτούς του κύκλους είναι εκείνος για τον οποίο η απόσταση του

από την $\left( \varepsilon \right)$ είναι

ίση με την ακτίνα του δηλαδή , $\boxed{PL = \frac{{19\sqrt {29} }}{{29}}}$ . Τα υπόλοιπα απλά .

Ο μικρός μας κύκλος

Ο μικρός μας κύκλος

Re: Ο μικρός μας κύκλος

Re: Ο μικρός μας κύκλος

Re: Ο μικρός μας κύκλος

Re: Ο μικρός μας κύκλος

Re: Ο μικρός μας κύκλος

Re: Ο μικρός μας κύκλος

Μέλη σε σύνδεση