Σταθερότητα και τόπος

KARKAR · #1

: Σταθερότητα και τόπος.png (23.16 KiB) Προβλήθηκε 237 φορές

Σημείο

κινείται στην πλευρά

, τριγώνου ABC

. Ο κύκλος (A , S , C)

, κέντρου

,

τέμνει την πλευρά

, στο σημείο

. Ονομάζουμε

το κέντρο του κύκλου (B , S , T )

.

α) Δείξτε ότι η διάκεντρος

έχει σταθερό μήκος ...β) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του

.

S.E.Louridas · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 30, 2025 9:27 am
Σημείο κινείται στην πλευρά , τριγώνου . Ο κύκλος , κέντρου ,τέμνει την πλευρά , στο σημείο . Ονομάζουμε το κέντρο του κύκλου .α) Δείξτε ότι η διάκεντρος έχει σταθερό μήκος ...β) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .

Θα εργαστούμε στο σχήμα που ακολουθεί.

α) $\displaystyle{\angle OKS = \angle B,\;\,\angle SOK = \angle BAT \Rightarrow \frac{{KO}}{{AB}} = \frac{{SO}}{{AT}} = \frac{{OA}}{{AT}}=\frac{R}{AB},}$ σταθερό καθότι στο

ισοσκελές τρίγωνο διατηρούνται οι γωνίες του επειδή $\angle AOT = 2\angle C,\;\;ct.$

Τελικά ισχύει $\displaystyle{KO = AB\frac{{OA}}{{AT}}=R,\;\,ct.}$ Ως συμβολίζουμε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο

β) Το σημείο θα κινείται στην σταθερή ημιευθεία αφού το ισοσκελές τρίγωνο διατηρεί τις γωνίες του επειδή

$\angle SKB = 2\angle STB = 2\angle A,\;\,ct.$

(*) Εναλλακτικά ένας δεύτερος τρόπος επίλυσης για το α) ερώτημα:

Αφού θεωρήσουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο στο τρίγωνο ακτίνας παρατηρούμε άμεσα ότι: $OZ \bot AC,\,\;OK \bot ST.$

Στη συνέχεια έχουμε $\angle KBS = \frac{\pi }{2} - \angle STB = \frac{\pi }{2} - \angle BAC \Rightarrow \angle KBS + \angle BAC = \frac{\pi }{2} \Rightarrow BK \bot AC \Rightarrow BK\parallel OZ,$

$\angle ZBA = \frac{\pi }{2} - \angle ACB = \frac{\pi }{2} - \angle BST \Rightarrow \angle ZBA + \angle BST = \frac{\pi }{2} \Rightarrow BZ \bot ST \Rightarrow BZ\parallel OK.$

Αυτό σημαίνει ότι το είναι παραλληλόγραμμο, άρα παίρνουμε

: cc2.png (81.83 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές

Σταθερότητα και τόπος

Σταθερότητα και τόπος

Re: Σταθερότητα και τόπος

Μέλη σε σύνδεση