Κάθετη στην διχοτόμο

KARKAR · #1

: Κάθετη στην διχοτόμο.png (17.41 KiB) Προβλήθηκε 388 φορές

Οι πλευρές AB , AC , BC

, του τριγώνου ABC

είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά : d=2

.

Το σημείο

είναι το μέσο της πλευράς

, ενώ το

είναι η προβολή της κορυφής

στην διχοτόμο της $\hat{A}$ .

α) Υπολογίστε το τμήμα

... β) Μπορούμε να κατασκευάσουμε το τρίγωνο κατά τρόπο(ν) ώστε : $SM\perp AM$ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 18, 2025 10:55 am
Κάθετη στην διχοτόμο.pngΟι πλευρές , του τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά : .

Το σημείο είναι το μέσο της πλευράς , ενώ το είναι η προβολή της κορυφής στην διχοτόμο της $\hat{A}$ .

α) Υπολογίστε το τμήμα ... β) Μπορούμε να κατασκευάσουμε το τρίγωνο κατά τρόπο(ν) ώστε : $SM\perp AM$ ;

α) H

τέμνει την

στο

Προφανώς $\displaystyle AD = b \Leftrightarrow BD = 2 \Leftrightarrow$ $\boxed{SM=1}$

: Κάθετη στη διχοτόμο.Κα.png (11.56 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές

β) Με τον τύπο της διαμέσου $\displaystyle A{M^2} = \frac{{3{b^2} - 12b + 4}}{4} \Rightarrow A{S^2} = \frac{{3{b^2} - 12b + 8}}{4}$

Με νόμο συνημιτόνου, $\displaystyle \cos A = \frac{{b - 8}}{{2(b - 2)}},$ κι επειδή $\displaystyle \cos \frac{A}{2} = \frac{{AS}}{b},2{\cos ^2}\frac{A}{2} = 1 + \cos A,$

με απαλοιφή του $\cos A$ καταλήγω στην εξίσωση, $\displaystyle 3{b^2} - 16b + 8 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{b > 2} b = \frac{{8 + 2\sqrt {10} }}{3}.$

Άρα το τρίγωνο κατασκευάζεται.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 18, 2025 10:55 am
Κάθετη στην διχοτόμο.pngΟι πλευρές , του τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά : .

Το σημείο είναι το μέσο της πλευράς , ενώ το είναι η προβολή της κορυφής στην διχοτόμο της $\hat{A}$ .

α) Υπολογίστε το τμήμα ... β) Μπορούμε να κατασκευάσουμε το τρίγωνο κατά τρόπο(ν) ώστε : $SM\perp AM$ ;

Έστω λυμένο το πρόβλημα . Ας είναι δε AC = x

. Θα είναι επομένως : $AB = x - 2\,\,\,,\,\,BM = MC = 1 + \dfrac{x}{2}$ .

α) Θα είναι , $SM// = \dfrac{{DB}}{2} = 1$ .

: κάθετη στη διχοτόμο new.png (16.79 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές

β) Αν τώρα είναι , $MS \bot MS\,\,\,\,$ το τρίγωνο ABM

θα είναι ορθογώνιο στο

. Από το 1ο θεώρημα διαμέσων στο $\vartriangle ABC$ και με AM = m

θα έχω , ${m^2} = \dfrac{{3{x^2} - 12 + 4}}{4}$ .

Από το π. θ. στο $\vartriangle ABM$ θα είναι : ${\left( {1 + \dfrac{x}{2}} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + \dfrac{{3{x^2} - 12x + 4}}{4}$ ή $3{x^2} - 16x + 8 = 0$ με δεκτή ρίζα , $\boxed{x = \dfrac{{8 + 2\sqrt {10} }}{3}}$

#4

Ενδιαφέρον παρουσιάζει η παρατήρηση ότι η γωνία $\widehat B$ πλησιάζει εντυπωσιακά τις

Προσεγγιστικά, $\boxed{\cos B - \cos 35^\circ \simeq 0,00001}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 18, 2025 10:55 am
Κάθετη στην διχοτόμο.pngΟι πλευρές , του τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά : .

Το σημείο είναι το μέσο της πλευράς , ενώ το είναι η προβολή της κορυφής στην διχοτόμο της $\hat{A}$ .

α) Υπολογίστε το τμήμα ... β) Μπορούμε να κατασκευάσουμε το τρίγωνο κατά τρόπο(ν) ώστε : $SM\perp AM$ ;

Με

και θ.διαμέσου παίρνουμε 4AM^2=3c^2-8

A)Είναι

και $NB=b-c=2\Rightarrow MS=1$

$MS//BN\Rightarrow AN \bot AM \Rightarrow AMSE$ ορθογώνιο,άρα ES=AM

$ES^2=AM^2=AE.EN=c+1\Rightarrow 4AM^2=4c+4$

Έτσι, $3c^2-8=4c+4\Rightarrow 3c^2-4c-12=0$ με δεκτή ρίζα $c= \dfrac{2+2 \sqrt{10} }{3}$

: κάθετη στη διχοτόμο.png (28.04 KiB) Προβλήθηκε 292 φορές

Κάθετη στην διχοτόμο

Κάθετη στην διχοτόμο

Re: Κάθετη στην διχοτόμο

Re: Κάθετη στην διχοτόμο

Re: Κάθετη στην διχοτόμο

Re: Κάθετη στην διχοτόμο

Μέλη σε σύνδεση