Σχέση γωνιών

KARKAR · #1

: Σχέση γωνιών.png (23.33 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές

Το

είναι σημείο της χορδής

κύκλου

για το οποίο : AT=2TB

. Φέρουμε τμήμα

$PT\perp AB$ και γράφουμε τον κύκλο (B , BT)

, ο οποίος τέμνει τον αρχικό - στο τόξο $\overset{\frown}{AB}$

που δεν περιέχει το

- σε σημείο

. Βρείτε την σχέση , η οποία συνδέει τις γωνίες $\phi$ και $\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 08, 2024 9:14 pm
Σχέση γωνιών.pngΤο είναι σημείο της χορδής κύκλου για το οποίο : . Φέρουμε τμήμα

$PT\perp AB$ και γράφουμε τον κύκλο , ο οποίος τέμνει τον αρχικό - στο τόξο $\overset{\frown}{AB}$

που δεν περιέχει το - σε σημείο . Βρείτε την σχέση , η οποία συνδέει τις γωνίες $\phi$ και $\theta$ .

: Σχέση γωνιών_KARKAR_9_11_24.png (24.98 KiB) Προβλήθηκε 532 φορές

Edit: Άρση απόκρυψης

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 08, 2024 9:14 pm
Σχέση γωνιών.pngΤο είναι σημείο της χορδής κύκλου για το οποίο : . Φέρουμε τμήμα

$PT\perp AB$ και γράφουμε τον κύκλο , ο οποίος τέμνει τον αρχικό - στο τόξο $\overset{\frown}{AB}$

που δεν περιέχει το - σε σημείο . Βρείτε την σχέση , η οποία συνδέει τις γωνίες $\phi$ και $\theta$ .

Επειδή $\angle PDE=90^0 \Rightarrow PE$ διάμετρος του κύκλου (O)

Είναι $AT=2TB=TC\Rightarrow PA=PC$ κι έτσι προφανώς όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες άρα PS=PC=PA

και τα ορθογώνια τρίγωνα PAE,PES

θα είναι ίσα ,άρα $\angle PES= \theta = \angle PBZ$

Τότε όμως $\angle 2 \theta + \phi =180^0$

: Σχέση γωνιών.png (38.8 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές

#4

Ένα επιπλέον ερώτημα.

: Σχέση γωνιών.Κ.png (19.24 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές

Αν

είναι το δεύτερο κοινό σημείο των κύκλων και

το αντιδιαμετρικό του

ως

προς τον κύκλο (B),

να δείξετε ότι οι PB, TN, SK

διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Dimessi · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 10, 2024 10:15 am
Ένα επιπλέον ερώτημα. Σχέση γωνιών.Κ.png
Αν είναι το δεύτερο κοινό σημείο των κύκλων και το αντιδιαμετρικό του ως

προς τον κύκλο να δείξετε ότι οι διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Δεν μου δουλεύει το latex. Έχω μια τριγωνομετρική και μια γεωμετιρκή απόδειξη ότι 2PBA παραπληρωματική της SBA και λόγω διαμέτρου S,B,N συνευθειακά άρα PBN=PBA. Αλλά BT=BS από όπου ,λόγω 2PBA παραπληρωματική της SBA, είναι BTS=PBA. Αλλά NTS ορθή (εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο) και PTB ορθή, άρα PTN=BTS=PBA=PBN, δηλ. PTBN εγγράψιμο και οι PB,TN,SK συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των κύκλων (PTBN),(PKBS),(B)..

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 10, 2024 10:15 am
Ένα επιπλέον ερώτημα. Σχέση γωνιών.Κ.png
Αν είναι το δεύτερο κοινό σημείο των κύκλων και το αντιδιαμετρικό του ως

προς τον κύκλο να δείξετε ότι οι διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Έστω ότι οι TZ,PB

τέμνονται στο

Στο post#3 δείξαμε ότι PS=PC

.Ακόμη

άρα

μεσοκάθετος της

άρα και της

αφού το

είναι ορθογώνιο και $\angle Q_{1} = \angle Q_{2}$ άρα

διχοτόμος της $\angle KQC$

Το PTQK

είναι εγγράψιμμο, συνεπώς όλες οι ροζ γωνίες είναι ίσες με

$\angle ZCQ+ Q_{3} = \angle \alpha +Q_{4} \Rightarrow \angle ZCQ= \alpha$ κι αφού $QB//CZ\Rightarrow \angle Q_{2} = \angle Q_{1}= \alpha$

Επομένως K,Q,S

συνευθειακά

: Σχέση γωνιών.png (49.47 KiB) Προβλήθηκε 418 φορές

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 08, 2024 9:14 pm
Σχέση γωνιών.pngΤο είναι σημείο της χορδής κύκλου για το οποίο : . Φέρουμε τμήμα

$PT\perp AB$ και γράφουμε τον κύκλο , ο οποίος τέμνει τον αρχικό - στο τόξο $\overset{\frown}{AB}$

που δεν περιέχει το - σε σημείο . Βρείτε την σχέση , η οποία συνδέει τις γωνίες $\phi$ και $\theta$ .

Σχέση γωνιών

Είναι γνωστή η πρόταση :

: Λήμμα Αρμονικότητας.png (11.36 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές

Αν σε $\vartriangle ABC$ με διάμεσο

φέρω δια του

ευθεία $\varepsilon //BC$ και μια τυχαία άλλη ευθεία ώστε να τέμνει τις ευθείες ,

$AB,AC,AM\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon$ στα D,E,H,T

τότε, η δέσμη $A\left( {D,E\backslash T,H} \right)$ είναι αρμονική.

Στην ωραία άσκηση του Θανάση .

Ας είναι

, το άλλο σημείο τομής της

με τον κύκλο κέντρου $O\,\,,\,\,$

το αντιδιαμετρικό του

και ευθεία δια του

Παράλληλη στην χορδή

και τέμνει τον μεγάλο κύκλο στο

. Προφανώς το $\vartriangle PAZ$ είναι ισοσκελές .

Η ημιευθεία

τέμνει τις $PA\,\,,\,\,PZ$ στα $G\,\,\kappa \alpha \iota \,\,J$ , η δέσμη $P\left( {T,Q\backslash G,J} \right)$ είναι αρμονική

: Σχέση γωνιών_KARKAR_9_11_24_new.png (33.81 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές

και μάλιστα . $\boxed{\frac{{GQ}}{{GT}} = \frac{{JQ}}{{JT}} = \frac{1}{2}}$ , γιατί η

είναι παράλληλη στην ακτίνα

της ως άνω δέσμης . Θα είναι έτσι , $\boxed{PQ// = \frac{1}{2}KZ}$ .

Μετά απ αυτά προκύπτει ότι η αρμονική τετράδα , $\left( {T,Q\backslash G,J} \right)$ και το σημείο

ανήκουν στην ίδια ευθεία ,

Επειδή δε οι γωνίες , $\widehat {QSC\,\,\,}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {TSZ}$ βαίνουν σε ημικύκλια και τα σημεία C,S,Z

ανήκουν στην ίδια ευθεία .

Όμοια η ευθεία

διέρχεται από το άλλο σημείο τομής των δύο κύκλο και έτσι από το εγγράψιμο PBSC

έχω, $\boxed{2\theta + \phi = 180^\circ }$ .

Σχέση γωνιών

Σχέση γωνιών

Re: Σχέση γωνιών

Re: Σχέση γωνιών

Re: Σχέση γωνιών

Re: Σχέση γωνιών

Re: Σχέση γωνιών

Re: Σχέση γωνιών

Μέλη σε σύνδεση