Ισότητα χωρίς φανερό λόγο

KARKAR · #1

: Ισότητα χωρίς φανερό λόγο.png (7.67 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, είναι :

. Θεωρούμε σημείο

της

,

ώστε

. Η διχοτόμος της $\hat{A}$ τέμνει την

στο σημείο

. Δείξτε ότι : TS=TA

.

Ιστοσελίδα · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 13, 2024 7:50 am
Στο τρίγωνο , είναι : . Θεωρούμε σημείο της ,

ώστε . Η διχοτόμος της $\hat{A}$ τέμνει την στο σημείο . Δείξτε ότι : .

: shape.png (20.12 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 13, 2024 7:50 am
Ισότητα χωρίς φανερό λόγο.pngΣτο τρίγωνο , είναι : . Θεωρούμε σημείο της ,

ώστε . Η διχοτόμος της $\hat{A}$ τέμνει την στο σημείο . Δείξτε ότι : .

Με νόμο συνημιτόνου διαδοχικά στα τρίγωνα ABC, ASC

βρίσκω πρώτα $\displaystyle \cos A = - \frac{1}{5}$ και

μετά $SC=2\sqrt 5}.$ Συνεχίζοντας με τον ίδιο νόμο στο ASC

ως προς τη γωνία $\theta$ παίρνω:

: Ισότητα χωρίς φανερό λόγο.png (9.69 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές

$\displaystyle \cos \theta = \frac{2}{{\sqrt {10} }} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\theta = \frac{4}{5} = 1 + \cos A,$ απ' όπου $\theta=\dfrac{\widehat A}{2},$ και το ζητούμενο έπεται.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 13, 2024 7:50 am
Ισότητα χωρίς φανερό λόγο.pngΣτο τρίγωνο , είναι : . Θεωρούμε σημείο της ,

ώστε . Η διχοτόμος της $\hat{A}$ τέμνει την στο σημείο . Δείξτε ότι : .

Έστω, $t = \cos A$ . Θα ισχύουν ταυτόχρονα : $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} 49 = {4^2} + {5^2} - 40t \hfill \\ {\left( {x + z} \right)^2} = {3^2} + {5^2} - 30t \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {\left( {x + z} \right)^2} = 9 + 25 - 30\dfrac{{49 - \left( {16 + 25} \right)}}{{40}} = 40$ .

Δηλαδή $x + z = 2\sqrt {10} \,\,\,\left( 1 \right)$ .

: ισότητα χωρίς φανερό λόγο.png (15.53 KiB) Προβλήθηκε 566 φορές

Εξ άλλου , ${y^2} = 15 - \dfrac{{3\left( {x + z} \right)}}{8} \cdot \dfrac{{5\left( {x + z} \right)}}{8} = 15 - \dfrac{{15 \cdot 40}}{{64}} = \dfrac{{5 \cdot 9}}{{4 \cdot 2}}$ και άρα : $\boxed{y = \dfrac{3}{2}\sqrt {\dfrac{5}{2}} = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{4}}$

Αλλά $\boxed{x = \dfrac{{3\left( {x + z} \right)}}{8} = \dfrac{{6\sqrt {10} }}{8} = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{4} = y}$ .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 13, 2024 7:50 am
Ισότητα χωρίς φανερό λόγο.pngΣτο τρίγωνο , είναι : . Θεωρούμε σημείο της ,

ώστε . Η διχοτόμος της $\hat{A}$ τέμνει την στο σημείο . Δείξτε ότι : .

Γράφω τον κύκλο $\left( {C,CS} \right)$ και τέμνει την ευθεία

ακόμη στο

. Θέτω :

. Από τη δύναμη του

έχω :

$AS \cdot AD = {R^2} - A{C^2} \Rightarrow \boxed{3k = {R^2} - 25\,\,}\,\,\left( 1 \right)$

Από τη δύναμη του

ομοίως : $BS \cdot BD = B{C^2} - {R^2} \Rightarrow \boxed{1\left( {4 + k} \right) = 49 - {R^2}\,}\,\left( 2 \right)$ . Προσθέτω , τις $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ κατά μέλη κι έχω :

: ισότητα χωρίς φανερό λόγο_new.png (26.55 KiB) Προβλήθηκε 546 φορές

$4k + 4 = 24 \Rightarrow \boxed{k = 5}$ , Συνεπώς $AK = AD \Rightarrow \widehat {\omega _{}^{}} = \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _0}} \Rightarrow 2\widehat {\theta _{}^{}} = 2\widehat {\omega _{}^{}} \Rightarrow \widehat {\theta _{}^{}} = \widehat {\omega _{}^{}} \Rightarrow TA = TS$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 13, 2024 7:50 am
Ισότητα χωρίς φανερό λόγο.pngΣτο τρίγωνο , είναι : . Θεωρούμε σημείο της ,

ώστε . Η διχοτόμος της $\hat{A}$ τέμνει την στο σημείο . Δείξτε ότι : .

Έστω

μέσον της

.Είναι $7^2>5^2+4^2\Rightarrow \angle A>90^0$ κι έστω $CP \bot AB$

Με δεύτερο θ.διαμέσου στο $\triangle ABC \Rightarrow 7^2-5^2=2.4.PQ\Rightarrow PQ=3 \Rightarrow AQ=1$

Έστω $SN \bot AT$ και $NL \bot SN$ οπότε NL//AT

και

.Ισχύει

$\dfrac{CL}{LT}= \dfrac{CN}{NA}= \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{CL}{2LT}= \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{CL}{LS}= \dfrac{1}{3}= \dfrac{AP}{AS}$

Άρα $AL//PC\Rightarrow AL \bot AB \Rightarrow ST=TL=TA$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε

: ισότητα χωρίς βασικό λόγο.png (46.02 KiB) Προβλήθηκε 496 φορές

Ισότητα χωρίς φανερό λόγο

Ισότητα χωρίς φανερό λόγο

Re: Ισότητα χωρίς φανερό λόγο

Re: Ισότητα χωρίς φανερό λόγο

Re: Ισότητα χωρίς φανερό λόγο

Re: Ισότητα χωρίς φανερό λόγο

Re: Ισότητα χωρίς φανερό λόγο

Μέλη σε σύνδεση