Ακατάλληλα δεδομένα αλλά κάτι θα σκεφθείτε

KARKAR · #1

: Ακατάλληλα δεδομένα αλλά κάτι θα σκεφθείτε .png (11.9 KiB) Προβλήθηκε 902 φορές

Η

είναι διάμεσος του τριγώνου ABC

. Υπολογίστε το εμβαδόν του . Στο αποτέλεσμα απαγορεύεται η παρουσία κλάσματος !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 16, 2024 1:47 pm
Ακατάλληλα δεδομένα αλλά κάτι θα σκεφθείτε .pngΗ είναι διάμεσος του τριγώνου . Υπολογίστε το εμβαδόν του . Στο αποτέλεσμα απαγορεύεται η παρουσία κλάσματος !

1ο θεώρημα διαμέσων, $\displaystyle 49 + 81 = 50 + \frac{{{a^2}}}{2} \Leftrightarrow a = 4\sqrt {10}$

: Σκέφτομαι και γράφω.png (9.88 KiB) Προβλήθηκε 867 φορές

2ο θεώρημα διαμέσων, $\displaystyle 81 - 49 = 8\sqrt {10} \cdot DM \Leftrightarrow DM = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\mathop \Rightarrow \limits^{\Pi .\Theta } h = \frac{{3\sqrt {13} }}{{\sqrt 5 }}$

$\displaystyle (ABC) = \frac{1}{2}ah = 2\sqrt {10} \frac{{3\sqrt {13} }}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow$ $\boxed{(ABC) = 6\sqrt {26} }$

Θα υπάρξουν βέβαια κακεντρεχείς που θα πουν ότι τα θεωρήματα διαμέσων είναι εκτός ύλης.
Αυτό όμως δεν με απασχολεί. Ας διαμαρτυρηθούν στους σοφούς που καθορίζουν την ύλη

abgd · #3

Μια λύση με τη βοήθεια του Ήρωνα!

Αν $\displaystyle{BC=4x}$ , τότε οι ημιπερίμετροι των ισοδύναμων τριγώνων $\displaystyle{ABM}$ και $\displaystyle{ACM}$ είναι $\displaystyle{\tau _1=6+x}$ , $\displaystyle{\tau _2=7+x}$ αντίστοιχα.

Από τον τύπο του Ήρωνα για το εμβαδόν του τριγώνου θα είναι

$\displaystyle{(ABM)=\sqrt{(6+x)(6-x)(x-1)(x+1)}=\sqrt{(36-x^2)(x^2-1)}=\sqrt{-x^4+37x^2-36}}$

$\displaystyle{(ACM)=\sqrt{(7+x)(7-x)(x-2)(x+2)}=\sqrt{(49-x^2)(x^2-4)}=\sqrt{-x^4+53x^2-196}}$ .

Εφόσον $\displaystyle{(ABC)=2(ABM)=2(ACM)}$ , εύκολα προκύπτει ότι: $\displaystyle{x^2=10}$ και $\displaystyle{(ABC)=6\sqrt{26}}$

#4

Ας πάμε απλά .

Προεκτείνουμε, κατά τα γνωστά, τη διάμεσο κατά ίσο τμήμα, οπότε το τρίγωνο είναι ισοδύναμο με τρίγωνο πλευρών 10, 9, 7 κ.λπ.

#5

rek2 έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 16, 2024 10:56 pm
Ας πάμε απλά .

Προεκτείνουμε, κατά τα γνωστά, τη διάμεσο κατά ίσο τμήμα, οπότε το τρίγωνο είναι ισοδύναμο με τρίγωνο πλευρών 10, 9, 7 κ.λπ.

Ακατάλληλα δεδομένα αλλά κάτι θα σκεφθείτε

Ακατάλληλα δεδομένα αλλά κάτι θα σκεφθείτε

Re: Ακατάλληλα δεδομένα αλλά κάτι θα σκεφθείτε

Re: Ακατάλληλα δεδομένα αλλά κάτι θα σκεφθείτε

Re: Ακατάλληλα δεδομένα αλλά κάτι θα σκεφθείτε

Re: Ακατάλληλα δεδομένα αλλά κάτι θα σκεφθείτε

Μέλη σε σύνδεση