Σφηνοειδής γραφή

KARKAR · #1

: Σφηνοειδής γραφή.png (21.15 KiB) Προβλήθηκε 761 φορές

Τα

είναι σημεία του κύκλου : (x-3)^2+(y-3)^2=9

και τέτοια ώστε :

$PS \perp OS$ . Εντοπίστε τη θέση του

, για την οποία οι γωνίες $\phi$ και $\theta$ είναι ίσες .

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2024 8:44 am
Σφηνοειδής γραφή.pngΤα είναι σημεία του κύκλου : και τέτοια ώστε :

$PS \perp OS$ . Εντοπίστε τη θέση του , για την οποία οι γωνίες $\phi$ και $\theta$ είναι ίσες .

Έστω λυμένο το πρόβλημα . Φέρνω την

και τέμνει τον δεδομένο κύκλο $\left( {K,3} \right)$ ακόμα στο

και τον οριζόντιο άξονα στο

.

Επειδή , $\widehat {OPK} = \widehat {AOS} = \theta$ , ο οριζόντιος άξονας εφάπτεται του κύκλου $\left( {O,E,P} \right)$ . Ας είναι

η προβολή του

στην

.

Έστω ακόμα ,

η προβολή του

στην

και τέμνει τον $\left( {K,3} \right)$ στο

. Τέλος ας είναι

το μέσο της χορδής

.

Θέτω , $EM = m\,\,,\,\,AT = KH = x\,\,$ και το PH = y

.

Από την επαφή του

στον κύκλο , $\left( {O,E,P} \right)$ έχω : $O{M^2} = m(m + 6)\,\,\,\,\left( 1 \right)$ . Από την επαφή του

στον κύκλο $\left( {K,3} \right)$ έχω:

: Σφηνοειδής γραφή_1.png (30.77 KiB) Προβλήθηκε 654 φορές

$A{M^2} = m\left( {m + 6} \right)\,\,\left( 2 \right)$ έτσι και λόγω της $\left( 1 \right)$ θα είναι $\displaystyle OM = MA = \dfrac{3}{2}$ $\left( 3 \right)$ . Επειδή 2KH// = EF

, θα είναι $\,\,KH//MT$ .

Από την $\left( 1 \right)$ ισχύει , ${\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2} = {m^2} + 6m \Rightarrow m = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{2} - 3\,\,\,\,\left( 4 \right)$ και από την αναλογία , $\dfrac{{KH}}{{MT}} = \dfrac{{PK}}{{PM}} \Rightarrow \dfrac{x}{{x + \dfrac{3}{2}}} = \dfrac{3}{{6 + m}}$
που λόγω της $\left( 4 \right)$ μας δίδει : $\boxed{x = \dfrac{3}{{\sqrt 5 }}}$ .

Φέρνω στο

κάθετη στην

και τέμνει την πάνω μεριά του $\left( {K,3} \right)$ στο

. Το ημικύκλιο διαμέτρου

,

Τέμνει τον δεδομένο κύκλο $\left( {K,3} \right)$ , στο

#4

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2024 8:44 am
Σφηνοειδής γραφή.pngΤα είναι σημεία του κύκλου : και τέτοια ώστε :

$PS \perp OS$ . Εντοπίστε τη θέση του , για την οποία οι γωνίες $\phi$ και $\theta$ είναι ίσες .

Δεν μπόρεσα να βρω κάτι εύκολο. Η λύση μου είναι χρονοβόρα. Την παραθέτω εν συντομία.

Με δύναμη σημείου βρίσκω $\displaystyle OM = MA = \frac{3}{2},TM = \frac{{3\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow PM = \frac{{6 + 3\sqrt 5 }}{2}$

: Σφηνοειδής γραφή.png (18.61 KiB) Προβλήθηκε 589 φορές

Με θεώρημα συνημιτόνου στο AKP

και θεώρημα διαμέσων στο OPA

παίρνω διαδοχικά,

$\displaystyle A{P^2} = \frac{{18}}{5}\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right),O{P^2} = \frac{{27}}{5}\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right).$

Από $\displaystyle \tan 2\omega = \frac{1}{2} \Rightarrow \tan \omega = \sqrt 5 - 2$ και στη συνέχεια βρίσκω $\displaystyle \sin \omega = \frac{{5 - 2\sqrt 5 }}{{10}}$

$\displaystyle (POM) = (PAM) \Leftrightarrow OP\sin \theta = AP\sin \omega \Rightarrow {\sin ^2}\theta = \frac{{A{P^2}{{\sin }^2}\omega }}{{O{P^2}}} = \frac{{5 - 2\sqrt 5 }}{{15}}$

Με νόμο συνημιτόνου στο POM

βρίσκω $\displaystyle \cos (P\widehat OS) = \frac{{\sqrt 5 }}{3} = \frac{{OS}}{{OP}} \Leftrightarrow O{S^2} = 3\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)$

Αλλά, $\displaystyle {\sin ^2}\theta = \frac{{O{N^2}}}{{O{S^2}}} \Leftrightarrow \frac{{5 - 2\sqrt 5 }}{{15}} = \frac{{O{N^2}}}{{3\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)}} \Leftrightarrow$ $\boxed{ON=1}$

Σφηνοειδής γραφή

Σφηνοειδής γραφή

Re: Σφηνοειδής γραφή

Re: Σφηνοειδής γραφή

Re: Σφηνοειδής γραφή

Re: Σφηνοειδής γραφή

Μέλη σε σύνδεση