Ισότητα σε ισοσκελές

KARKAR · #1

: Ισότητα σε ισοσκελές.png (11.86 KiB) Προβλήθηκε 793 φορές

Με βάση το τμήμα BC=a

, κατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC)

, ώστε φέροντας

το ύψος

, την διχοτόμο

και την διάμεσο

, να προκύπτει η ισότητα : DE=EM=m

.

Henri van Aubel · #2

Έχουμε $\displaystyle ED=\frac{ab}{a+c}-\frac{a^{2}-c^{2}+b^{2}}{2b}=\frac{2ab^{2}-\left ( a^{2}-c^{2}+b^{2} \right )\left ( a+c \right )}{2b\left ( a+c \right )}=\frac{2ab^{2}-a^{2}\left ( a+b \right )}{2b\left ( a+b \right )}.$

Επιπλέον $\displaystyle EM=\frac{b}{2}-\frac{ab}{a+c}=\frac{b\left ( a+c \right )-2ab}{2\left ( a+c \right )}=\frac{b^{2}-ab}{2\left ( a+b \right )}.$

Επομένως $\displaystyle \frac{2ab^{2}-a^{2}\left ( a+b \right )}{b}=b^{2}-ab\Leftrightarrow 2ab^{2}-a^{2}\left ( a+b \right )=b^{2}\left ( b-a \right )$

Δηλαδή $b^{3}-3ab^{2}+a^{2}b+a^{3}=0$ ή $\left ( a-b \right ) (a^{2}+2ab-b^{2} )=0$

Όμως $a\neq b$ , γιατί τότε θα έχουμε ισόπλευρο τρίγωνο και τα σημεία D,E,M

θα ταυτίζονται ανά δύο.

Συνεπώς $\displaystyle a^{2}+2ab-b^{2}=0\Leftrightarrow \left ( a+b \right )^{2}=2b^{2}\Rightarrow \frac{a}{b}=\sqrt{2}-1$ .

Κατασκευή: Παίρνουμε δύο σημεία B,C

του επιπέδου έτσι ώστε BC=a

και ο κύκλος $\left ( B,a ( 1+\sqrt{2} ) \right )$ τέμνει την μεσοκάθετο του τμήματος

στα σημεία

,

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Αύγ 30, 2023 10:21 am Ισότητα σε ισοσκελές.pngΜε βάση το τμήμα , κατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο , ώστε φέροντας

το ύψος , την διχοτόμο και την διάμεσο , να προκύπτει η ισότητα : .

Από τον τύπο της διαμέσου είναι $\displaystyle B{M^2} = \frac{{2{a^2} + {b^2}}}{4}.$ Αλλά, $\displaystyle B{M^2} - {a^2} = M{D^2} - D{C^2},$

απ' όπου $\displaystyle \frac{{2{a^2} + {b^2}}}{4} - {a^2} = 4{m^2} - {\left( {\frac{b}{2} - 2m} \right)^2} \Leftrightarrow m = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{4b}}$

: ΚΙΤ.png (9.55 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές

Αλλά, $\displaystyle AE = \frac{{{b^2}}}{{a + b}} = \frac{b}{2} + m \Leftrightarrow \frac{{{b^2}}}{{a + b}} = \frac{b}{2} + \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{4b}} \Leftrightarrow {b^2} - 2ab - {a^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{b=a(1+\sqrt 2)}$

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Αύγ 30, 2023 10:21 am Ισότητα σε ισοσκελές.pngΜε βάση το τμήμα , κατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο , ώστε φέροντας

το ύψος , την διχοτόμο και την διάμεσο , να προκύπτει η ισότητα : .

Ας είναι $\boxed{\boxed{a = 6k}}$ . Γράφω τον κύκλο διαμέτρου

που θα διέρχεται από το

. Θέτω

. Φέρνω και το ύψος

.

Επειδή $CD \cdot CA = CN \cdot CB$ θα έχω την εξίσωση : $x\left( {4m + 2x} \right) = 3k \cdot 6k \Rightarrow {x^2} + 2mx - 9{k^2} = 0\,\,\left( 1 \right)$

Το σημείο τομής

των $BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AN$ είναι το έγκεντρο του $\vartriangle ABC$ . Φέρνω την

και τέμνει στο

την μεσοκάθετο του

.

: ισότητα σε ισοσκελές_new.png (24.62 KiB) Προβλήθηκε 710 φορές

Φέρνω την

που τέμνει ακόμα τον κύκλο στο

. Αναγκαστικά το BDAH

είναι ορθογώνιο άρα και το BDMZ

είναι ορθογώνιο .

Άμεση συνέπεια : $\widehat {\theta _{}^{}} = \widehat {\phi _{}^{}} = \widehat {\omega _{}^{}} \Rightarrow BC = BZ = DM \Rightarrow 6k = 2m\,\,\left( 2 \right)$ . Τώρα η $\left( 1 \right)$ γίνεται:

${x^2} + 6kx - 9{k^2} = 0 \Rightarrow \boxed{x = 3k\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}$ συνεπώς , $\boxed{AC = AB = 2x + 12k = a\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}$

KARKAR · #5

Ευχαριστώ τους φίλους λύτες για τις έξοχες ( και διαφορετικές ) λύσεις τους . Δεν ήταν στα ζητούμενα

της άσκησης , ας γίνει όμως η παρατήρηση ότι : $m=\dfrac{a}{2}$ . Έτσι εξηγείται και το "ανορθόδοξο" της
εκφώνησης που μάλλον αρχικά ταλαιπώρησε τον Γιώργο

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: Τετ Αύγ 30, 2023 10:21 am Ισότητα σε ισοσκελές.pngΜε βάση το τμήμα , κατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο , ώστε φέροντας

το ύψος , την διχοτόμο και την διάμεσο , να προκύπτει η ισότητα : .

$\dfrac{AE}{EC}= \dfrac{b}{a} \Rightarrow \dfrac{ \dfrac{b}{2}+m }{ \dfrac{b}{2}-m }=\dfrac{b}{a} \Rightarrow m= \dfrac{b^2-ab}{2(a+b)}$

$\triangle ABN \simeq \triangle BCD \Rightarrow CD= \dfrac{a^2}{2b}$

Αλλά $2m+CD=\dfrac{b}{2} \Rightarrow b^3-3ab^2+a^2b+a^3=0$ .Με $x= \dfrac{b}{a}$ παίρνουμε

$x^3-3x^2+x+1=0 \Leftrightarrow (x-1)(x^2-2x-1)=0$ .Η λύση x=1

απορρίπτεται αφού δίνει a=b

Από

έχουμε $x=\dfrac{b}{a}=\sqrt{2}+1$

: ισότητα σε ισοσκελές.png (14.31 KiB) Προβλήθηκε 661 φορές

Ισότητα σε ισοσκελές

Ισότητα σε ισοσκελές

Re: Ισότητα σε ισοσκελές

Re: Ισότητα σε ισοσκελές

Re: Ισότητα σε ισοσκελές

Re: Ισότητα σε ισοσκελές

Re: Ισότητα σε ισοσκελές

Μέλη σε σύνδεση