Δύο ισότητες δίνουν άλλη μία

KARKAR · #1

: Δύο ισότητες δίνουν άλλη μία.png (17.43 KiB) Προβλήθηκε 591 φορές

Στο παραλληλόγραμμο ABCD

, το σημείο

είναι το μέσο της

και ισχύει : AD=DB=BC

.

Στην προέκταση της διαγωνίου

, θεωρούμε σημείο

ώστε :

. Οι κύκλοι : ( C , D , A)

και

, τέμνουν την προέκταση της

στα σημεία T , S

αντίστοιχα . Δείξτε ότι : MT=TS

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 27, 2023 10:40 am
Δύο ισότητες δίνουν άλλη μία.pngΣτο παραλληλόγραμμο , το σημείο είναι το μέσο της και ισχύει : .

Στην προέκταση της διαγωνίου , θεωρούμε σημείο ώστε : . Οι κύκλοι :

και , τέμνουν την προέκταση της στα σημεία αντίστοιχα . Δείξτε ότι : .

$\bullet$ Έστω $N\equiv AC\cap BD$ (προφανώς το μέσο (και) της

(σημείο τομής διαγωνίων παραλληλογράμμου) και ας είναι

το σημείο τομής της

με τον κύκλο $\left( C,D,P \right),K\ne D$
Με $DA=DB\overset{MA=MB}{\mathop{\Rightarrow }}\,DK$ μεσοκάθετη της

Από το εγγεγραμμένο τραπέζιο (ισοσκελές) ADCT

στον κύκλο $\left( C,D,A \right)$ προκύπτει ότι $\angle ATB=\angle DCB\overset{DC\parallel AB}{\mathop{=}}\,\angle ABT\overset{AD\parallel CT}{\mathop{=}}\,\angle ADB$ και συνεπώς τα (ισοσκελή) τρίγωνα $\vartriangle ATB,\vartriangle DAB$ είναι όμοια (μια γωνία των «βάσεών» τους ίση) και με ομόλογες διαμέσους τις TM,AN

αντίστοιχα , θα είναι $\angle BTM=\angle ABN:\left( 1 \right)$

: Δύο ισότητες δίνουν άλλη μια.png (69.78 KiB) Προβλήθηκε 514 φορές

$\bullet$ Όμως $\angle MBS\overset{MB\parallel DC}{\mathop{=}}\,\angle DCS\overset{D,C,K,S\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle DKS\equiv \angle MKS\Rightarrow M,B,K,S$ ομοκυκλικά, άρα $\angle MST\equiv \angle MSB=\angle MKB\overset{KM\,\,\mu \varepsilon \sigma o\kappa \alpha \theta \varepsilon \tau \eta \,\,\tau \eta \varsigma \,\,AB}{\mathop{=}}\,\angle AKM:\left( 2 \right)$

Και $\angle CAB\overset{AB\parallel CD}{\mathop{=}}\,\angle DCP\overset{D,C,K,P\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle DKP\equiv \angle MKP\Rightarrow A,M,K,P$ ομοκυκλικά , άρα $\angle APM=\angle AKM\overset{\left( 2 \right)}{\mathop{=}}\,\angle MKB\overset{M,B,K,S\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle MSB\Rightarrow \angle APM=\angle MST:\left( 3 \right)$

Από $\left( 1 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow \vartriangle APM\sim \vartriangle TSM$ και με $\vartriangle APM$ ισοσκελές (από υπόθεση) θα είναι ισοσκελές και το $\vartriangle TSM\Rightarrow TM=TS$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Δύο ισότητες δίνουν άλλη μία

Δύο ισότητες δίνουν άλλη μία

Re: Δύο ισότητες δίνουν άλλη μία

Μέλη σε σύνδεση