Μέγιστο ύψος

KARKAR · #1

: Μέγιστο ύψος.png (9.43 KiB) Προβλήθηκε 791 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο OAB

, η κάθετη πλευρά OB (=4)

είναι σταθερή , ενώ η άλλη κάθετη πλευρά

μεταβάλλεται . Στην υποτείνουσα

επιλέγουμε σημείο

, τέτοιο ώστε : AS=AO

. Βρείτε - έστω και

με προσέγγιση - το μήκος της

, όταν το

βρεθεί στην ψηλότερη θέση του .

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 18, 2023 7:42 pm Μέγιστο ύψος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , η κάθετη πλευρά είναι σταθερή , ενώ η άλλη κάθετη πλευρά

μεταβάλλεται . Στην υποτείνουσα επιλέγουμε σημείο , τέτοιο ώστε : . Βρείτε - έστω και

με προσέγγιση - το μήκος της , όταν το βρεθεί στην ψηλότερη θέση του .

Ας είναι

η προβολή του

στην

.

Π. Θ. στο $\vartriangle OAB$ : ${x^2} + 16 = {\left( {x + SB} \right)^2}\,\,\left( 1 \right)$ . Ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων
$TBS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OBA$ :

$\dfrac{y}{x} = \dfrac{{SB}}{{AB}} \Rightarrow \dfrac{y}{x} = \dfrac{{SB}}{{x + SB}} \Rightarrow SB = \dfrac{{xy}}{{x - y}}\,\,\,\left( 2 \right)$ και ή $\left( 1 \right)$ δίδει:

: Μέγιστο ύψος.png (6.93 KiB) Προβλήθηκε 752 φορές

$\boxed{y = f(x) = x - \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 16} }}}$ .

Με τη βοήθεια παραγώγων προκύπτει ότι μέγιστο παρουσιάζει για $\boxed{x = \sqrt {8\sqrt 5 - 8} }$ . Το $\boxed{y = \sqrt {40\sqrt 5 - 88} }$

Παρατήρηση : τότε προκύπτει ότι $\boxed{\frac{{TO}}{{TB}} = \frac{x}{{BS}} = \frac{{x - y}}{y} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}$

Κατασκευή για οποιοδήποτε μήκος

.

: Μέγιστο ύψος_new.png (21.4 KiB) Προβλήθηκε 724 φορές

Χωρίζω το

εσωτερικά κι εξωτερικά με τα σημεία D,E

σε μέσο κι άκρο λόγο .

Ο κύκλος διαμέτρου

τέμνει την εις το

, κατακόρυφη ευθεία , στο σημείο

.

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 18, 2023 7:42 pm Μέγιστο ύψος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , η κάθετη πλευρά είναι σταθερή , ενώ η άλλη κάθετη πλευρά

μεταβάλλεται . Στην υποτείνουσα επιλέγουμε σημείο , τέτοιο ώστε : . Βρείτε - έστω και

με προσέγγιση - το μήκος της , όταν το βρεθεί στην ψηλότερη θέση του .

Αλλάζω τον αρχικό συμβολισμό OA=x

και θέτω

με τις συντεταγμένες του τριγώνου OAB

να φαίνονται στο σχήμα.

: Μέγιστο ύψος.Κ1.png (12.51 KiB) Προβλήθηκε 715 φορές

Εύκολα βρίσκω από την εξίσωση της ευθείας

ότι $y = \dfrac{a}{4}(4 - x) \Leftrightarrow$ $\boxed{a = \frac{{4y}}{{4 - x}}}$ (1)

Αλλά, $\displaystyle A{S^2} = {a^2} \Leftrightarrow {x^2} + {(y - a)^2} = {a^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{y = x\sqrt {\frac{{4 - x}}{{4 + x}}} ,0 \leqslant x \leqslant 4}$ που είναι

και η εξίσωση του γεωμετρικού τόπου (η μπλε καμπύλη του σχήματος).

Με τη βοήθεια των παραγώγων, τώρα βρίσκω $\boxed{{y_{\max }} = 2\sqrt {10\sqrt 5 - 22}}$ όταν $\boxed{x = 2\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}$

KARKAR · #5

Γιώργο , εξαιρετικός όπως πάντα

Όμως η απάντησή σου φέρνει σε δύσκολη θέση τον θεματοδότη , για την επιλογή του φακέλου ...

Προφανώς ζητούσα την

( έστω και κατά προσέγγιση ) , για να επισημάνω το πόσο

κοντά στο $\pi$ βρίσκεται το μήκος της ( κάτι που στα κρυφά βρήκε ο Νίκος ! )

Μέγιστο ύψος

Μέγιστο ύψος

Re: Μέγιστο ύψος

Re: Μέγιστο ύψος

Re: Μέγιστο ύψος

Re: Μέγιστο ύψος

Μέλη σε σύνδεση