Δεύτερος κύκλος

KARKAR · #1

Με αφορμή την πολυτάραχη αυτή ( Γιώργο και Κώστα δεν έχω λόγια ...) :

: Δεύτερος κύκλος.png (20.47 KiB) Προβλήθηκε 807 φορές

Το κέντρο του κύκλου (P , r)

είναι η Ανατολή του κύκλου (O , R )

. Ονομάζω

το βόρειο σημείο τομής

των δύο κύκλων και

τον νότιο πόλο του (O)

. Υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{r}{R}$ , ώστε το σημείο τομής

του κύκλου (P)

με το τμήμα

, να είναι το μέσο του

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 10, 2023 12:16 pm
Με αφορμή την πολυτάραχη αυτή ( Γιώργο και Κώστα δεν έχω λόγια ...) :

Δεύτερος κύκλος.pngΤο κέντρο του κύκλου είναι η Ανατολή του κύκλου . Ονομάζω το βόρειο σημείο τομής

των δύο κύκλων και τον νότιο πόλο του . Υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{r}{R}$ , ώστε το σημείο τομής

του κύκλου με το τμήμα , να είναι το μέσο του .

Θέτω

και είναι $\displaystyle 2{x^2} = S{P^2} - {r^2} = 2{R^2} - {r^2} \Leftrightarrow S{T^2} = 4{R^2} - 2{r^2}$

: Δεύτερος κύκλος.png (16.32 KiB) Προβλήθηκε 730 φορές

$\displaystyle \cos \left( {T\widehat PS} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}(\cos \omega - \sin \omega ) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{r}{{2R}} - \frac{{\sqrt {4{R^2} - {r^2}} }}{{2R}}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{{4R}}\left( {r - \sqrt {4{R^2} - {r^2}} } \right)$

Με νόμο συνημιτόνου στο PTS,

έχω $\displaystyle 4{R^2} - 2{r^2} = {r^2} + 2{R^2} - 2Rr\sqrt 2 \frac{{\sqrt 2 }}{{4R}}\left( {r - \sqrt {4{R^2} - {r^2}} } \right) \Leftrightarrow 2{R^2} - 2{r^2} = r\sqrt {4{R^2} - {r^2}},$

απ' όπου $\displaystyle 5{r^4} - 12{R^2}{r^2} + 4{R^4} = 0$ κι επειδή $0<\dfrac{r}{R}<1,$ θα είναι $\boxed{ \frac{r}{R} = \sqrt {\frac{2}{5}}}$

Σημείωση: Ο φίλτατος Νίκος Φραγκάκης μου επεσήμανε ότι η

διέρχεται από το μέσο του OP,

γεγονός που απλουστεύει την κατασκευή.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 10, 2023 12:16 pm
Με αφορμή την πολυτάραχη αυτή ( Γιώργο και Κώστα δεν έχω λόγια ...) :

Δεύτερος κύκλος.pngΤο κέντρο του κύκλου είναι η Ανατολή του κύκλου . Ονομάζω το βόρειο σημείο τομής

των δύο κύκλων και τον νότιο πόλο του . Υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{r}{R}$ , ώστε το σημείο τομής

του κύκλου με το τμήμα , να είναι το μέσο του .

Κατασκευή

Θεωρώ σταθερό το μεγάλο κύκλο ακτίνας $R = 10a\,\,\left( 1 \right)$ και έστω

το μέσο της

η

τέμνει ακόμα τον κύκλο στο

.

Ο κύκλος $\left( {P,PT} \right)$ είναι ο δεύτερος κύκλος .

Προφανές ότι σε όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με μια οξεία κίτρινη , η μια κάθετη πλευρά είναι διπλάσια της άλλης ( σχήμα)

Υπολογισμός

: Δεύτερος κύκλος_Κατασκευή_υπολογισμός.png (25.72 KiB) Προβλήθηκε 681 φορές

Η τετράδα $\left( {O,D\backslash N,L} \right)$ είναι αρμονική .

Από $\dfrac{{ND}}{{NO}} = \dfrac{{LD}}{{LO}} \Rightarrow \dfrac{x}{{5a}} = \dfrac{{20a - \left( {5a + x} \right)}}{{20a}} \Rightarrow \boxed{x = 3a}$ και άρα $DP = 2a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TD = 6a$ .

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle DPT$ , έχω: ${r^2} = 40{a^2} \Rightarrow r = 2a\sqrt {10} \Rightarrow \boxed{\frac{r}{R} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}}$

Παρατήρηση :

Το ορθογώνιο τρίγωνο είναι του «τύπου» : $\left( {3,5,4} \right)$

nickchalkida · #4

Η διατύπωση της άσκησης είναι προς τι, ελλειπής. Ὀταν το

διαγράφει τον κύκλο (O)

,
το μέσον

της χορδἠς

θα διαγράψει τον κύκλο

. Όταν το $N=AP \cap ST$
είναι τέτοιο ώστε $4 \cdot ON = R$ θα είναι τότε

$\displaystyle{ SN^2=R^2 + {R^2 \over 4} = {5R^2 \over 4} }$
οπότε και από την ομοιότητα των τριγώνων NPT, NSA

θα είναι
$\displaystyle{ {TP^2 \over AS^2} = {NP^2 \over SN^2} \rightarrow {TP^2 \over 2R^2} = \dfrac{\dfrac{R^2}{4}}{\dfrac{5R^2}{4}} \rightarrow {r^2 \over R^2} = {2 \over 5} }$

Δεύτερος κύκλος

Δεύτερος κύκλος

Re: Δεύτερος κύκλος

Re: Δεύτερος κύκλος

Re: Δεύτερος κύκλος

Μέλη σε σύνδεση