Ο δεκαπεντάρης

KARKAR · #1

: Ο δεκαπεντάρης.png (10.84 KiB) Προβλήθηκε 930 φορές

$\bigstar$ Στο $8\times 5$ ορθογώνιο ABCD

να "εγγραφεί" το ισοσκελές τρίγωνο SAT

, με :

Ιστοσελίδα · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 07, 2023 9:41 pm
$\bigstar$ Στο $8\times 5$ ορθογώνιο να "εγγραφεί" το ισοσκελές τρίγωνο , με :

: 2023-02-08_22-59-47.jpg (58.19 KiB) Προβλήθηκε 843 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 07, 2023 9:41 pm
Ο δεκαπεντάρης.png $\bigstar$ Στο $8\times 5$ ορθογώνιο να "εγγραφεί" το ισοσκελές τρίγωνο , με :

Θέτω $TC = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CS = x \Rightarrow DS = 8 - x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT = 5 - y$

Από το Π. Θ. στα $\vartriangle CST\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle DAS$ έχω : ${x^2} + {y^2} = S{T^2} = S{A^2} = {5^2} + {\left( {8 - x} \right)^2}$ . Άρα
$x = \dfrac{{89 - {y^2}}}{{16}}\,\,\left( 1 \right)$ .

Το εμβαδόν του $\vartriangle SAT$ προκύπτει αν από το εμβαδόν του τραπεζίου ADCT

αφαιρέσω το εμβαδόν των προαναφερθέντων ορθογωνίων τριγώνων .

Δηλαδή : $\dfrac{8}{2}\left( {5 + y} \right) - \dfrac{1}{2}\left( {xy + 5\left( {8 - x} \right)} \right) = 15$ ή 5x + 8y - xy - 30 = 0

που λόγω της $\left( 1 \right)$ δίδει την εξίσωση :

: Ο δεκαπεντάρης.png (10.21 KiB) Προβλήθηκε 832 φορές

${y^3} - 5{y^2} + 39y - 35 = 0$ η εξίσωση είναι 3ου βαθμού και αν συνεχίσω με ύλη Β λυκείου είμαι εκτός φακέλου .κάνω ομάδες κι έχω:

${y^3} - 4{y^2} + 35y - {y^2} + 4y - 35 = 0 \Leftrightarrow y\left( {{y^2} - 4y + 35} \right) - \left( {{y^2} - 4y + 35} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left( {{y^2} - 4y + 35} \right) = 0$

, Άρα $\boxed{y = 1}$ γιατί το $T\left( y \right) = {y^2} - 4y + 35$ δεν έχει πραγματικές ρίζες. Τώρα από την $\left( 1 \right)$ προκύπτει : $\boxed{y = \frac{{11}}{2}}$

Αναμένω απλούστερη λύση .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 07, 2023 9:41 pm
Ο δεκαπεντάρης.png $\bigstar$ Στο $8\times 5$ ορθογώνιο να "εγγραφεί" το ισοσκελές τρίγωνο , με :

είναι τα εμβαδά των αντίστοιχων έγχρωμων τριγώνων στο σχήμα και έστω BT=a.

: Ο 15άρης.png (16.12 KiB) Προβλήθηκε 764 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} X + Z = 20 \hfill \\ Y + Z = 15 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\boxed{X-Y=5}$

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} X + W = \frac{1}{2}8a \hfill \\ Y + W = \frac{1}{2}a \cdot SC \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow X - Y = \frac{1}{2}a \cdot DS\mathop \Leftrightarrow \limits^{X - Y = 5}$ $\boxed{DS=\frac{10}{a}}$

$\displaystyle SA = ST \Leftrightarrow 25 + \frac{{100}}{{{a^2}}} = {(5 - a)^2} + {\left( {8 - \frac{{10}}{a}} \right)^2} \Leftrightarrow {a^3} - 10{a^2} + 64a - 160 = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle {a^3} - 10{a^2} + 64a - 64 - 96 = 0 \Leftrightarrow \left( {{a^3} - {4^3}} \right) - 2\left( {5{a^2} - 32a + 48} \right) \Leftrightarrow$

$\displaystyle (a - 4)({a^2} + 4a + 16) - 2(a - 4)(5a - 12) \Leftrightarrow (a - 4)({a^2} - 6a + 40) = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{a=4}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 07, 2023 9:41 pm
Ο δεκαπεντάρης.png $\bigstar$ Στο $8\times 5$ ορθογώνιο να "εγγραφεί" το ισοσκελές τρίγωνο , με :

Οι γωνίες $\theta$ είναι οξείες με κάθετες πλευρές.Ακόμη $MN=\dfrac{x+5}{2}$

$\triangle MSN \simeq \triangle TAB \Rightarrow \dfrac{SM}{AT}= \dfrac{MN}{AB} \Rightarrow SM.AT= \dfrac{MN}{AB}.AT^2$

Επομένως $30=\dfrac{x+5}{16}.[(5-x)^2+64] \Rightarrow x^3-5x^2 +39x-35=0 \Leftrightarrow (x-1)(x^2-4x+35)=0 \Rightarrow x=1$

: O δεκαπεντάρης.png (15.13 KiB) Προβλήθηκε 718 φορές

Ο δεκαπεντάρης

Ο δεκαπεντάρης

Re: Ο δεκαπεντάρης

Re: Ο δεκαπεντάρης

Re: Ο δεκαπεντάρης

Re: Ο δεκαπεντάρης

Μέλη σε σύνδεση