Αειθαλής γωνία

KARKAR · #1

: Αειθαλής γωνία.png (16.13 KiB) Προβλήθηκε 557 φορές

Στο επίπεδο του παραλληλογράμμου ABCD

εντοπίστε σημείο

, ώστε αν η

τέμνει την

στο σημείο

, να είναι : AB=BS

και

. Υπολογίστε τώρα την γωνία : $\widehat{TSC}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 12, 2022 7:04 pm
Αειθαλής γωνία.pngΣτο επίπεδο του παραλληλογράμμου εντοπίστε σημείο , ώστε αν η τέμνει την

στο σημείο , να είναι : και . Υπολογίστε τώρα την γωνία : $\widehat{TSC}$ .

Πρόκειται για μετασχηματισμό (επί το δυσκολότερο) του θέματος Γεωμετρίας της Α λυκείου στο διαγωνισμό Θαλής 2022 .

Αφού BC = 5 - ( - 3) = 8

θα είναι

και άρα $D\left( {8,4} \right)$ . Το σημείο

εντοπίζεται από το σημείο τομής τoυ κύκλου $\,\left( {D,DA} \right)$ με τον οριζόντιο άξονα.

Μετά το σημείο

είναι το άλλο σημείο τομής του κύκλου $\left( {B,BA} \right)$ με την ευθεία

Για το

έχω το σύστημα : $\left\{ \begin{gathered} {\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {8^2} \hfill \\ y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {\left( {x - 8} \right)^2} = 48$

: Αειθαλής γωνία.png (19.76 KiB) Προβλήθηκε 522 φορές

και προκύπτει : $\left| {x - 8} \right| = 4\sqrt 3 \Leftrightarrow x - 8 = 4\sqrt 3 \,\,$ ή $x - 8 = - 4\sqrt 3$ . Η πρώτη τιμή δεν δίδει λύση στο πρόβλημα .

Έτσι $x = 8 - 4\sqrt 3 = 4\left( {2 - \sqrt 3 } \right)$ και άρα $T\left( {4\left( {2 - \sqrt 3 } \right),0} \right)$ .

Τώρα $\overrightarrow {TA} = \left( { - 8 + 4\sqrt 3 ,4} \right)$ και έχει κλίση, $k = - \dfrac{1}{{2 - \sqrt 3 }} = - \left( {2 + \sqrt 3 } \right) = \tan 105^\circ$

Δηλαδή $\widehat {CTA} = 105^\circ \Rightarrow \widehat {TAD} = 75^\circ \Rightarrow \widehat {DTA} = 75^\circ \,\,$ και αφού AD//TC

θα είναι $\widehat {STC} = 75^\circ$ , το δε $\vartriangle DAT \to \left( {30^\circ ,75^\circ ,75^\circ } \right)$ .

Επειδή όμως TD//SC

το $\vartriangle CTS$ είναι ισοσκελές και άρα $\boxed{\theta = 75^\circ }$ . Δείτε Εδώ

: Αειθαλής γωνία_extra.png (22.67 KiB) Προβλήθηκε 522 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 12, 2022 7:04 pm
Αειθαλής γωνία.pngΣτο επίπεδο του παραλληλογράμμου εντοπίστε σημείο , ώστε αν η τέμνει την

στο σημείο , να είναι : και . Υπολογίστε τώρα την γωνία : $\widehat{TSC}$ .

Έστω

η προβολή του

στην

και

Είναι

και $\displaystyle \sin \varphi = \frac{1}{2}.$ Άρα,

$\displaystyle \varphi = 30^\circ \Rightarrow A\widehat TD = S\widehat TC = 75^\circ.$ Εξάλλου με Πυθαγόρειο στο TDF

παίρνω $\boxed{x=4\sqrt 3-3}$

: Αειθαλής γωνία.png (20.51 KiB) Προβλήθηκε 469 φορές

Με νόμο συνημιτόνου στο DAT

βρίσκω $\boxed{AT=4(\sqrt 6-\sqrt 2}$ Αλλά στο ισοσκελές ABS

είναι

$\displaystyle B{S^2} = B{T^2} + AT \cdot TS \Leftrightarrow 25 = {(11 - 4\sqrt 3 )^2} + 4(\sqrt 6 - \sqrt 2 )TS \Leftrightarrow$ $\boxed{TS = \frac{{2(11\sqrt 3 - 18)}}{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}}$

$\displaystyle \frac{{TS}}{{AT}} = \frac{{11\sqrt 3 - 18}}{{2{{(\sqrt 6 - \sqrt 2 )}^2}}} = ... = \frac{{4\sqrt 3 - 3}}{8} = \frac{{TC}}{{DT}},$ οπότε τα DAT, CTS

είναι όμοια και $\boxed{\theta=75^\circ}$

Αειθαλής γωνία

Αειθαλής γωνία

Re: Αειθαλής γωνία

Re: Αειθαλής γωνία

Μέλη σε σύνδεση