Υποχρεωτικά διάμεσος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17503
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Υποχρεωτικά διάμεσος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Αύγ 25, 2022 8:13 am

Υποχρεωτικά διάμεσος.png
Υποχρεωτικά διάμεσος.png (11.38 KiB) Προβλήθηκε 1265 φορές
Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC , με : AB=AC=4 , BC=5 , θεωρούμε σημείο S της BC ,

τέτοιο ώστε : BS=3 , SC=2 .

Προεκτείνουμε την AB κατά τμήμα BD=2 , την AC κατά τμήμα CE=5 και την AS , μέχρις

ότου τμήσει το τμήμα DE , στο σημείο M . Δείξτε ότι το M είναι το μέσο του DE .

Μπορείτε να δημιουργήσετε παρόμοιο θέμα - με ανόμοιο προς το δοθέν τρίγωνο - με ακέραια τμήματα ;


Λέξεις Κλειδιά:
ανόμοιο
ισοσκελές
προεκτάσεις
Κορυφή
cool geometry
Δημοσιεύσεις: 292
Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am

Re: Υποχρεωτικά διάμεσος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cool geometry » Πέμ Αύγ 25, 2022 3:38 pm

\boldsymbol{\bigtriangleup ABC:\frac{BS}{SC}=\frac{AB}{AC}\cdot \frac{\eta \mu BAS}{\eta \mu SAC}=\frac{\eta \mu DAM}{\eta \mu EAM}=\frac{3}{2}(1).}
\boldsymbol{\bigtriangleup ADE:\frac{DM}{ME}=\frac{AD}{AE}\cdot \frac{\eta \mu DAM}{\eta \mu EAM}=\frac{6}{9}\cdot \frac{3}{2}=1\Leftrightarrow DM=ME.}


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10781
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Υποχρεωτικά διάμεσος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Αύγ 26, 2022 1:23 am

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 25, 2022 8:13 am
 Υποχρεωτικά διάμεσος.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο ABC , με : AB=AC=4 , BC=5 , θεωρούμε σημείο S της BC ,

τέτοιο ώστε : BS=3 , SC=2 .

Προεκτείνουμε την AB κατά τμήμα BD=2 , την AC κατά τμήμα CE=5 και την AS , μέχρις

ότου τμήσει το τμήμα DE , στο σημείο M . Δείξτε ότι το M είναι το μέσο του DE .

Μπορείτε να δημιουργήσετε παρόμοιο θέμα - με ανόμοιο προς το δοθέν τρίγωνο - με ακέραια τμήματα ;
α)

Φέρνω από το B παράλληλη στην DE και τέμνει την AE στο T. Αφού AB = 2BD θα είναι , AT = 2TE οπότε υποχρεωτικά : CT = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TE = 3\,\,\,\left( 1 \right).

Φέρνω τώρα από το A παράλληλη στην DE και τέμνει την ευθεία BC στο J.

Αν θέσω CJ = x επειδή AC = 2CT θα είναι CJ = 2BC \Rightarrow CJ = x = 10\,\,\left( 2 \right).
Υποχρεωτικά διάμεσος_a_ok.png
Υποχρεωτικά διάμεσος_a_ok.png (19.73 KiB) Προβλήθηκε 1115 φορές
Τώρα όμως λόγω των \left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right) θα ισχύει : \boxed{\frac{{SC}}{{SB}} = \frac{{JC}}{{JB}} \Leftrightarrow \frac{2}{3} = \frac{{10}}{{15}}} .

Δηλαδή η δέσμη: A\left( {C,B\backslash S,J} \right) είναι αρμονική κι αφού η ακτίνα AJ//DE οι τρεις

άλλες ακτίνες της δέσμης την τέμνουν στα σημεία D,E,M με το M μέσο του DE.

Με βάση την απόδειξη που έκανα μπορώ να σου κάνω άπειρα ( και κατά παραγγελία! )
Υποχρεωτικά διάμεσος ένα παράδειγμα.png
Υποχρεωτικά διάμεσος ένα παράδειγμα.png (24.96 KiB) Προβλήθηκε 1108 φορές


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9010
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Demetres

Re: Υποχρεωτικά διάμεσος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Αύγ 26, 2022 1:54 pm

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και βαρυκεντρικές συντεταγμένες.

Αν A=(1,0,0), B=(0,1,0) και C = (0,0,1) τότε εύκολα βρίσκουμε S(0,\frac{2}{5},\frac{3}{5}), D = (-\frac{1}{2},\frac{3}{2},0) και E = (-\frac{5}{4},0,\frac{9}{4}). Αν M το μέσο της DE τότε έχουμε M = (-\frac{7}{8},\frac{3}{4},\frac{9}{8}).

Τα A,S,M είναι συνευθειακά αφού 15S = 7A + 8M.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 314
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:
Επικοινωνία nickchalkida

Re: Υποχρεωτικά διάμεσος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Παρ Αύγ 26, 2022 8:26 pm

\displaystyle{ \left. \begin{aligned} & (ADS) = {3 \over 2} (ABS) \cr & (AES) = {9 \over 4} (ACS) \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow {(ADS) \over (AES)} = {3 \over 2}{4 \over 9}{3 \over 2} = 1 \rightarrow DM = ME }
Συνημμένα
rsz_ask1234.png
rsz_ask1234.png (38.14 KiB) Προβλήθηκε 1005 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10781
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Υποχρεωτικά διάμεσος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Αύγ 27, 2022 2:44 am

Demetres έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 26, 2022 1:54 pm
 Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και βαρυκεντρικές συντεταγμένες.

Αν A=(1,0,0), B=(0,1,0) και C = (0,0,1) τότε εύκολα βρίσκουμε S(0,\frac{2}{5},\frac{3}{5}), D = (-\frac{1}{2},\frac{3}{2},0) και E = (-\frac{5}{4},0,\frac{9}{4}). Αν M το μέσο της DE τότε έχουμε M = (-\frac{7}{8},\frac{3}{4},\frac{9}{8}).

Τα A,S,M είναι συνευθειακά αφού 15S = 7A + 8M.
:coolspeak:


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10781
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Υποχρεωτικά διάμεσος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Αύγ 27, 2022 2:46 am

nickchalkida έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 26, 2022 8:26 pm
 \displaystyle{ \left. \begin{aligned} & (ADS) = {3 \over 2} (ABS) \cr & (AES) = {9 \over 4} (ACS) \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow {(ADS) \over (AES)} = {3 \over 2}{4 \over 9}{3 \over 2} = 1 \rightarrow DM = ME }
:coolspeak:

Νίκο να σε βλέπουμε πιο συχνά .


Κορυφή
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 3298
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Υποχρεωτικά διάμεσος

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Αύγ 29, 2022 2:45 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 25, 2022 8:13 am
 Υποχρεωτικά διάμεσος.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο ABC , με : AB=AC=4 , BC=5 , θεωρούμε σημείο S της BC ,

τέτοιο ώστε : BS=3 , SC=2 .

Προεκτείνουμε την AB κατά τμήμα BD=2 , την AC κατά τμήμα CE=5 και την AS , μέχρις

ότου τμήσει το τμήμα DE , στο σημείο M . Δείξτε ότι το M είναι το μέσο του DE .

Μπορείτε να δημιουργήσετε παρόμοιο θέμα - με ανόμοιο προς το δοθέν τρίγωνο - με ακέραια τμήματα ;
Μενέλαος στο DEZ με διατέμνουσα MHA

\dfrac{DM}{ME} . \dfrac{EH}{HZ} . \dfrac{AZ}{AD} =1 \Rightarrow \dfrac{DM}{ME} .\dfrac{2}{3}. \dfrac{9}{6}=1 \Rightarrow DM=ME
διοάμεσος οπωσδήποτε.png
διοάμεσος οπωσδήποτε.png (19.61 KiB) Προβλήθηκε 898 φορές


Κορυφή
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2715
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Υποχρεωτικά διάμεσος

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Αύγ 29, 2022 5:15 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 25, 2022 8:13 am
 Υποχρεωτικά διάμεσος.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο ABC , με : AB=AC=4 , BC=5 , θεωρούμε σημείο S της BC ,

τέτοιο ώστε : BS=3 , SC=2 .

Προεκτείνουμε την AB κατά τμήμα BD=2 , την AC κατά τμήμα CE=5 και την AS , μέχρις

ότου τμήσει το τμήμα DE , στο σημείο M . Δείξτε ότι το M είναι το μέσο του DE .

Μπορείτε να δημιουργήσετε παρόμοιο θέμα - με ανόμοιο προς το δοθέν τρίγωνο - με ακέραια τμήματα ;
Τα τρίγωνα ABC,BCE είναι ισοσκελή με AB=AC=4,BC=CE=5,\hat{CEB}=\omega

Αρα \hat{ABE}=3\hat{AEB} και από βασική ασκηση

4BE^{2}=25.13\Leftrightarrow BE=\dfrac{5}{2}\sqrt{13},(1),

Στο τρίγωνο BCEμε τέμνουσα

ASL,\dfrac{EL}{LB}=\dfrac{3}{2},(2), (1),(2)\Rightarrow BL=\sqrt{13},LE=\dfrac{3}{2}\sqrt{13},

Στο τρίγωνο DBE με τέμνουσα

MLA,\dfrac{EL}{LB}\dfrac{4}{6}.\dfrac{DM}{ME}=1,(3), (2),(3)\Rightarrow DM=ME
Συνημμένα
Υποχρεωτικά διάμεσος.png
Υποχρεωτικά διάμεσος.png (172.45 KiB) Προβλήθηκε 855 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης