Παραμετρική ανίσωση

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για κάθε μία από τις οποίες η ανίσωση

$\dfrac{\sqrt{6+x-x^2}}{x-2a} \leq \dfrac{\sqrt{6+x-x^2}}{2x-2a+4}$

έχει ακριβώς δυο λύσεις.

Maria-Eleni Nikolaou · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 02, 2022 2:04 pm
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για κάθε μία από τις οποίες η ανίσωση

$\dfrac{\sqrt{6+x-x^2}}{x-2a} \leq \dfrac{\sqrt{6+x-x^2}}{2x-2a+4}$

έχει ακριβώς δυο λύσεις.

Η ανίσωση γράφεται: $\sqrt{6+x-x^{2}}\left ( \dfrac{1}{2x-2a+4} -\dfrac{1}{x-2a}\right )\geq 0$

Περιορισμός για τη ρίζα: $6+x-x^{2}\geq 0\Leftrightarrow (x-3)(x+2)\leq 0\Leftrightarrow x \in\left [-2,3 \right ]$

Προφανείς ρίζες της ανίσωσης είναι: x=-2

ή

, για τις οποίες ισχύει η ισότητα.

Άρα, για να είναι μοναδικές θα πρέπει η παρένθεση να είναι αρνητική, δηλαδή:

$\dfrac{1}{2x-2a+4}-\dfrac{1}{x-2a}<0\Leftrightarrow \dfrac{x-2a-2x+2a-4}{2 (x-a+2)(x-2a)}<0$

Γίνεται: $2(x+4)(x-a+2)(x-2a)>0\Rightarrow (x-a+2)(x-2a)>0$ , διότι: x+4>0

λόγω του περιορισμού.

Με πίνακα προσήμων, βρίσκουμε ότι το παραπάνω γινόμενο είναι αρνητικό όταν: $x \in (a-2,2a)$

Οπότε πρέπει: $2a=a-2\Leftrightarrow a=-2$ , ώστε το γινόμενο να είναι θετικό (όπως θέλαμε) ή μηδέν. Η διπλή ρίζα που προκύπτει εδώ είναι η x=-4

που απορρίπτεται.

Επομένως, η ανίσωση έχει ακριβώς δύο λύσεις για $\boxed{a=-2}$

Al.Koutsouridis · #3

Maria-Eleni Nikolaou έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 03, 2022 4:15 pm

Η ανίσωση γράφεται: $\sqrt{6+x-x^{2}}\left ( \dfrac{1}{2x-2a+4} -\dfrac{1}{x-2a}\right )\geq 0$

Περιορισμός για τη ρίζα: $6+x-x^{2}\geq 0\Leftrightarrow (x-3)(x+2)\leq 0\Leftrightarrow x \in\left [-2,3 \right ]$

Προφανείς ρίζες της ανίσωσης είναι: ή , για τις οποίες ισχύει η ισότητα.

Άρα, για να είναι μοναδικές θα πρέπει η παρένθεση να είναι αρνητική, δηλαδή:

$\dfrac{1}{2x-2a+4}-\dfrac{1}{x-2a}<0\Leftrightarrow \dfrac{x-2a-2x+2a-4}{2 (x-a+2)(x-2a)}<0$

Γίνεται: $2(x+4)(x-a+2)(x-2a)>0\Rightarrow (x-a+2)(x-2a)>0$ , διότι: λόγω του περιορισμού.

Με πίνακα προσήμων, βρίσκουμε ότι το παραπάνω γινόμενο είναι αρνητικό όταν: $x \in (a-2,2a)$

Οπότε πρέπει: $2a=a-2\Leftrightarrow a=-2$ , ώστε το γινόμενο να είναι θετικό (όπως θέλαμε) ή μηδέν. Η διπλή ρίζα που προκύπτει εδώ είναι η που απορρίπτεται.

Επομένως, η ανίσωση έχει ακριβώς δύο λύσεις για $\boxed{a=-2}$

Ευχαριστούμε για τις λύσεις και το χρόνο σου! Λίγο προσοχή στην κατάστρωση των ισοδύναμων ανισώσεων και εξισώσεων που χρειάζονται για τη λύση της άσκησης. Υπάρχουν και αλλες τιμές της παραμέτρου

που την ικανοποιούν.

Maria-Eleni Nikolaou · #4

Ευχαριστώ πολύ για την επισήμανση, θα προσπαθήσω να το διορθώσω.

Maria-Eleni Nikolaou · #5

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 03, 2022 5:22 pm

Maria-Eleni Nikolaou έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 03, 2022 4:15 pm

Η ανίσωση γράφεται: $\sqrt{6+x-x^{2}}\left ( \dfrac{1}{2x-2a+4} -\dfrac{1}{x-2a}\right )\geq 0$

Περιορισμός για τη ρίζα: $6+x-x^{2}\geq 0\Leftrightarrow (x-3)(x+2)\leq 0\Leftrightarrow x \in\left [-2,3 \right ]$

Προφανείς ρίζες της ανίσωσης είναι: ή , για τις οποίες ισχύει η ισότητα.

Άρα, για να είναι μοναδικές θα πρέπει η παρένθεση να είναι αρνητική, δηλαδή:

$\dfrac{1}{2x-2a+4}-\dfrac{1}{x-2a}<0\Leftrightarrow \dfrac{x-2a-2x+2a-4}{2 (x-a+2)(x-2a)}<0$

Γίνεται: $2(x+4)(x-a+2)(x-2a)>0\Rightarrow (x-a+2)(x-2a)>0$ , διότι: λόγω του περιορισμού.

Με πίνακα προσήμων, βρίσκουμε ότι το παραπάνω γινόμενο είναι αρνητικό όταν: $x \in (a-2,2a)$

Οπότε πρέπει: $2a=a-2\Leftrightarrow a=-2$ , ώστε το γινόμενο να είναι θετικό (όπως θέλαμε) ή μηδέν. Η διπλή ρίζα που προκύπτει εδώ είναι η που απορρίπτεται.

Επομένως, η ανίσωση έχει ακριβώς δύο λύσεις για $\boxed{a=-2}$
Ευχαριστούμε για τις λύσεις και το χρόνο σου! Λίγο προσοχή στην κατάστρωση των ισοδύναμων ανισώσεων και εξισώσεων που χρειάζονται για τη λύση της άσκησης. Υπάρχουν και αλλες τιμές της παραμέτρου που την ικανοποιούν.

Δύο περιπτώσεις που δεν έλαβα υπόψη:

1) a>5

που προκύπτει αν: $a-2>3\Leftrightarrow a>5$ δηλαδή οι τιμές που μηδενίζουν το γινόμενο (x-a+2)(x-2a)

είναι μεγαλύτερες του

και το πρόσημο στο (-2,3)

είναι θετικό.

2) a<-1

που προκύπτει αν: $2a<-2\Leftrightarrow a<-1$ δηλαδή οι τιμές που μηδενίζουν το γινόμενο (x-a+2)(x-2a)

είναι μικρότερες του

και το πρόσημο στο (-2,3)

είναι θετικό.

Η δεύτερη περίπτωση καλύπτει και την τιμή της παραμέτρου που βρήκα παραπάνω.

Δεν γράφω ολόκληρη τη διερεύνηση, αλλά μόνο τα κομμάτια που δίνουν λύσεις. Πολύ πιθανό να μου διέφυγαν κάποιες δυνατές τιμές.

Al.Koutsouridis · #6

Maria-Eleni Nikolaou έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 03, 2022 7:51 pm

Δύο περιπτώσεις που δεν έλαβα υπόψη:

1) που προκύπτει αν: $a-2>3\Leftrightarrow a>5$ δηλαδή οι τιμές που μηδενίζουν το γινόμενο είναι μεγαλύτερες του και το πρόσημο στο είναι θετικό.

2) που προκύπτει αν: $2a<-2\Leftrightarrow a<-1$ δηλαδή οι τιμές που μηδενίζουν το γινόμενο είναι μικρότερες του και το πρόσημο στο είναι θετικό.

Η δεύτερη περίπτωση καλύπτει και την τιμή της παραμέτρου που βρήκα παραπάνω.

Δεν γράφω ολόκληρη τη διερεύνηση, αλλά μόνο τα κομμάτια που δίνουν λύσεις. Πολύ πιθανό να μου διέφυγαν κάποιες δυνατές τιμές.

Παραμετρική ανίσωση

Παραμετρική ανίσωση

Re: Παραμετρική ανίσωση

Re: Παραμετρική ανίσωση

Re: Παραμετρική ανίσωση

Re: Παραμετρική ανίσωση

Re: Παραμετρική ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση