Πυρήνας πολλαπλῆς ὁλοκληρώσεως

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 573
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Πυρήνας πολλαπλῆς ὁλοκληρώσεως

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Τετ Μάιος 11, 2022 2:25 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ὑπάρχει K: [a,b]\times[a,b]\to\mathbb R, ὥστε

\displaystyle{ 
\int_a^x\int_a^{t_{99}}\int_a^{t_{98}}\cdots\int_a^{t_{1}} f(t_0)\, dt_0\,dt_1\,\cdots\, dt_{99} 
=\int_a^x K(x,t)\,f(t)\,dt, 
}

διὰ κάθε \,f:[a,b]\to\mathbb R συνεχῆ;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14452
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πυρήνας πολλαπλῆς ὁλοκληρώσεως

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Μάιος 11, 2022 10:26 pm

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:
Τετ Μάιος 11, 2022 2:25 pm
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ὑπάρχει K: [a,b]\times[a,b]\to\mathbb R, ὥστε

\displaystyle{ 
\int_a^x\int_a^{t_{99}}\int_a^{t_{98}}\cdots\int_a^{t_{1}} f(t_0)\, dt_0\,dt_1\,\cdots\, dt_{99} 
=\int_a^x K(x,t)\,f(t)\,dt, 
}

διὰ κάθε \,f:[a,b]\to\mathbb R συνεχῆ;
Πρώτα για δύο μεταβλητές, t_0,\, t_1. To χωρίο ολοκλήρωσης είναι όπως το σκιασμένο στο σχήμα.

Με αλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης, έχουμε

\displaystyle{\int_a^x\int_a^{t_{1}} f(t_0)\, dt_0\,dt_1= \int_a^x\int_{t_0}^{x} f(t_0)\, dt_1\,dt_0= \int_a^x(x-t_0) f(t_0)\, dt_0, που είναι της μορφής που θέλουμε.

Για τρεις μεταβλητές t_0,\, t_1,\, t_2 και με χρήση αυτού που μόλις αποδείξαμε στα δύο μέσα ολοκληρώματα, έχουμε

\displaystyle{\int_a^x\int_a^{t_{2}}\int_a^{t_{1}}f(t_0)\, dt_0\,dt_1\,dt_{2}=\int_a^x\int_a^{t_{2}} (t_2-t_0)f(t_0)\, dt_0\,dt_{2} και όμοια με αλλαγή σειράς ολοκλήρωσης αυτό ισούται με το

\displaystyle{ \int_a^x\int_{t_0}^{x} (t_2-t_0)f(t_0)\, dt_2\,dt_{0} = \dfrac {1}{2!}\int_a^x  (x-t_0)^2f(t_0)\,dt_{0} } , που είναι της μορφής που θέλουμε.

Συνεχίζοντας επαωγικά,

 \boxed { \displaystyle{\int_a^x\int_a^{t_{n}}\int_a^{t_{n-1}}\cdots\int_a^{t_{1}} f(t_0)\, dt_0\,dt_1\,\cdots\, dt_{n}=\dfrac {1}{n!}  \int_a^x (x-t_0)^nf(t_0)\,dt_{0}  }}, που είναι όπως θέλουμε, με K(x,t)= \dfrac {1}{n!}  (x-t)^n.
Συνημμένα
pirinas.png
pirinas.png (8.77 KiB) Προβλήθηκε 107 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες