Συνευθειακά

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17503
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Συνευθειακά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Απρ 11, 2022 8:11 pm

Συνευθειακά.png
Συνευθειακά.png (20.72 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές
Το τμήμα KC είναι κάθετο στο σκέλος AC του ισοσκελούς τριγώνου ABC . Ο κύκλος (K , KC)

τέμνει τον περίκυκλο του ABC στο σημείο T και την προέκταση της βάσης BC στο σημείο S .

Δείξτε ότι τα σημεία A , T , S είναι συνευθειακά .


Λέξεις Κλειδιά:
ισοσκελές
περίκυκλος
συνευθειακά
Κορυφή
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 3298
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Συνευθειακά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Απρ 11, 2022 9:05 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 11, 2022 8:11 pm
 Συνευθειακά.pngΤο τμήμα KC είναι κάθετο στο σκέλος AC του ισοσκελούς τριγώνου ABC . Ο κύκλος (K , KC)

τέμνει τον περίκυκλο του ABC στο σημείο T και την προέκταση της βάσης BC στο σημείο S .

Δείξτε ότι τα σημεία A , T , S είναι συνευθειακά .
AM είναι διάμετρος του κύκλου (A,B,C) συνεπώς η KC περνά από το M

\angle x+y=90^0 και \angle \theta +y=90^0 άρα \angle x= \angle \theta και το ζητούμενο αποδείχτηκε

(Πιο σύντομα προκύπτει η ισότητα των γωνιών \theta ,x αφού AC εφαπτόμενη του κύκλου (K,KC))
Συνευθειακά.png
Συνευθειακά.png (24.96 KiB) Προβλήθηκε 762 φορές


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10781
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συνευθειακά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Απρ 11, 2022 11:36 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 11, 2022 8:11 pm
 Συνευθειακά.pngΤο τμήμα KC είναι κάθετο στο σκέλος AC του ισοσκελούς τριγώνου ABC . Ο κύκλος (K , KC)

τέμνει τον περίκυκλο του ABC στο σημείο T και την προέκταση της βάσης BC στο σημείο S .

Δείξτε ότι τα σημεία A , T , S είναι συνευθειακά .
Έστω ότι η AT δεν διέρχεται από το S αλλά από άλλο σημείο Z του \left( {K,KC} \right).

Τότε από τα εγγράψιμα τετράπλευρα ABCT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TCSZ προκύπτει, AB//SZ.
Συνευθειακά_11_4_22_KARKAR.png
Συνευθειακά_11_4_22_KARKAR.png (27.79 KiB) Προβλήθηκε 733 φορές
Όμως η KC θα διέρχεται από το νότιο πόλο D του ισοσκελούς \vartriangle ABC με άμεση συνέπεια KS//BD.

Αφού όμως DB \bot BA θα είναι και SZ \bot KS. Αν λοιπόν E το αντιδιαμετρικό του S θα έχω ταυτόχρονα: EZ \bot SZ\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ES \bot SZ.

Καταλήγω σε μαθηματικό αδιέξοδο, άρα Z \equiv S.


Κορυφή
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2715
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Συνευθειακά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Απρ 12, 2022 8:30 am

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 11, 2022 8:11 pm
 Συνευθειακά.pngΤο τμήμα KC είναι κάθετο στο σκέλος AC του ισοσκελούς τριγώνου ABC . Ο κύκλος (K , KC)

τέμνει τον περίκυκλο του ABC στο σημείο T και την προέκταση της βάσης BC στο σημείο S .

Δείξτε ότι τα σημεία A , T , S είναι συνευθειακά .
Εστω ότι

\hat{B}=\hat{C}=\omega ,\hat{KCS}=90-\omega =\hat{KSC},\hat{CKS}=2\omega , \hat{CTS}=\omega

Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο

ATCB,\hat{ATC}=180-\omega , \hat{ATC}+\hat{CTS}=180^{0}

και τα σημεία A,T,S είναι συνευθειακά
Συνημμένα
Συνευθειακά.png
Συνευθειακά.png (99.97 KiB) Προβλήθηκε 716 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14829
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συνευθειακά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Απρ 12, 2022 9:44 am

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 11, 2022 8:11 pm
 Συνευθειακά.pngΤο τμήμα KC είναι κάθετο στο σκέλος AC του ισοσκελούς τριγώνου ABC . Ο κύκλος (K , KC)

τέμνει τον περίκυκλο του ABC στο σημείο T και την προέκταση της βάσης BC στο σημείο S .

Δείξτε ότι τα σημεία A , T , S είναι συνευθειακά .
Συνευθειακά.ΚΑRKAR.png
Συνευθειακά.ΚΑRKAR.png (23.05 KiB) Προβλήθηκε 707 φορές
Από το εγγεγραμμένο ABCT είναι B\widehat AT=T\widehat CS και επειδή η AC εφάπτεται στον κύκλο (K), όλες οι πράσινες γωνίες είναι

ίσες. Άρα τα τρίγωνα ABT, CST είναι ισογώνια και C\widehat TS=A\widehat TB=A\widehat CB=A\widehat BC, που αποδεικνύει το ζητούμενο.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10781
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συνευθειακά

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Απρ 12, 2022 2:14 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 11, 2022 8:11 pm
 Συνευθειακά.pngΤο τμήμα KC είναι κάθετο στο σκέλος AC του ισοσκελούς τριγώνου ABC . Ο κύκλος (K , KC)

τέμνει τον περίκυκλο του ABC στο σημείο T και την προέκταση της βάσης BC στο σημείο S .

Δείξτε ότι τα σημεία A , T , S είναι συνευθειακά .
Φέρνω ( προσωρινά ) μόνο το ευθύγραμμο τμήμα TS. Η KC διέρχεται από το νότιο πόλο D του \vartriangle ABC και έστω M το μέσο της χορδής CS.
Συνευθειακά_11_4_22_new.png
Συνευθειακά_11_4_22_new.png (29.65 KiB) Προβλήθηκε 683 φορές
Έχω διαδοχικά : \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}}. Ενώ \widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{K_{}}} και αφού \widehat {{K_{}}} + \widehat {{\theta _3}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\phi _{}}} = = 90^\circ .

Δηλαδή TD \bot TS οπότε αναγκαστικά η ST θα διέλθει από το αντιδιαμετρικό του D, δηλαδή το A.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Dimessi και 2 επισκέπτες