Σταθερότητα και τόπος

KARKAR · #1

: Χειμαδιά.png (11.19 KiB) Προβλήθηκε 552 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει σταθερή την βάση

και κινούμενη την κορυφή

. Προεκτείνουμε

την πλευρά

κατά τμήμα CM =kCA

και την

κατά τμήμα MS=mBM

.

α) Δείξτε ότι η ευθεία

διέρχεται από σταθερό σημείο . ( k , m

σταθεροί θετικοί ) .

β) Αν το

κινείται σε κύκλο , βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 19, 2022 9:14 am
Χειμαδιά.pngΤο τρίγωνο έχει σταθερή την βάση και κινούμενη την κορυφή . Προεκτείνουμε

την πλευρά κατά τμήμα και την κατά τμήμα .

α) Δείξτε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο . ( σταθεροί θετικοί ) .

β) Αν το κινείται σε κύκλο , βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου .

α) Έστω ότι η

τέμνει την

στο

Θα δείξω ότι το

είναι σταθερό.

: Σταθερότητα και τόπος.Κ.png (9.57 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές

Μενέλαος στο AMS

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {BCT} :$

$\displaystyle \frac{1}{k} \cdot \frac{{MB}}{{BS}} \cdot \frac{{ST}}{{TA}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ST}}{{TA}} = k(m + 1) \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{AS}}{{TA}} = km + k + 1}$ (1)

Μενέλαος στο BTS

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {ACM} ,$ $\displaystyle \frac{1}{m} \cdot \frac{{AS}}{{TA}} \cdot \frac{{TC}}{{BC}} = 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{\frac{{BC}}{{TC}} = \frac{{km + k + 1}}{m}}$

Η βάση

είναι όμως σταθερή, άρα και το σημείο

θα είναι σταθερό.

β) Έστω ότι το

κινείται στον σταθερό κύκλο (O, R).

Από το

φέρνω παράλληλη στην

που τέμνει την

στο

: Σταθερότητα και τόπος.Κβ.png (17.97 KiB) Προβλήθηκε 505 φορές

$\displaystyle \frac{r}{R} = \frac{{KT}}{{TO}} = \frac{{ST}}{{TA}} = k(m + 1) \Leftrightarrow r = k(m + 1)R$ και επειδή τα σημεία O, T

είναι σταθερά,

θα είναι και το

σταθερό. Άρα ο ζητούμενος τόπος είναι ο κύκλος $\displaystyle \left( {K,k(m + 1)R} \right).$

Σταθερότητα και τόπος

Σταθερότητα και τόπος

Re: Σταθερότητα και τόπος

Μέλη σε σύνδεση