Λογύδριον

KARKAR · #1

: Λογύδριον.png (12.7 KiB) Προβλήθηκε 1052 φορές

Το

είναι το μέσο της

και το

το μέσο της

. Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BS}{AC}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 27, 2021 8:18 pm Λογύδριον.pngΤο είναι το μέσο της και το το μέσο της . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BS}{AC}$ .

: Λογύδριον.png (19.82 KiB) Προβλήθηκε 1020 φορές

Αν

το μέσο της

τότε: $MT\parallel AB\Rightarrow \dfrac{BS}{MT}=\dfrac{BN}{NT}=\ldots \dfrac{\dfrac{BD}{2}}{\dfrac{DC}{2}}=\dfrac{BD}{DC}\overset{\Theta .\Delta \iota \chi o\tau o\mu o\upsilon }{\mathop{=}}\,\dfrac{AB}{AC}:\left( 1 \right)$
Αν $AB=x\overset{\angle C={{30}^{0}},\angle A={{90}^{0}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,BC=2x\overset{\Pi .\Theta }{\mathop{\Rightarrow }}\,AC=x\sqrt{3}$ και $MT=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{x}{2}=\dfrac{AC}{2\sqrt{3}}$ και συνεπώς η σχέση $\left( 1 \right)$ γίνεται $\dfrac{BS}{\dfrac{AC}{2\sqrt{3}}}=\dfrac{x}{x\sqrt{3}}\Rightarrow \ldots \dfrac{BS}{AC}=\dfrac{1}{6}$

#3

Ας είναι

το μέσο της

. Η από το

παράλληλη στην

τέμνει την

στο

και η από το

παράλληλη στην

τέμνει την

στο

.

Προφανές ότι $\boxed{x = BS = DT = AH}$ . Ας πούμε δε : $\boxed{BD = 2k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DO = m}$ .

Από το Θ. διχοτόμων έχω: $\dfrac{{DC}}{{DB}} = \sqrt 3 \Rightarrow \dfrac{{m + \dfrac{a}{2}}}{{2k}} = \sqrt 3 \Rightarrow \dfrac{{2m + a}}{{4k}} = \sqrt 3$ .

Αλλά a = 4k + 2m

, έτσι η προηγούμενη γράφεται: $\dfrac{{k + m}}{k} = \sqrt 3 \Rightarrow \dfrac{{OM}}{{DT}} = \sqrt 3 \Rightarrow \boxed{DT = x = \dfrac{a}{{4\sqrt 3 }}}$ .

: Λογύδριον.png (23.87 KiB) Προβλήθηκε 1000 φορές

Ο λόγος που θέλω είναι: $\boxed{\dfrac{x}{b} = \dfrac{{\dfrac{a}{{4\sqrt 3 }}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{2a}}{{4a \cdot 3}} = \dfrac{1}{6}}$

Το ποιο πάνω αποτέλεσμα προκύπτει χωρίς βοηθητικές γραμμές με θ. διχοτόμων και Θ. Μενελάου

Αλλά ούτε αυτό, ούτε η λύση που δίνω με ικανοποιούν . πρέπει να υπάρχει κάτι πιο κομψό και να αποφεύγονται οι πράξεις .

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 27, 2021 8:18 pm Λογύδριον.pngΤο είναι το μέσο της και το το μέσο της . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BS}{AC}$ .

Έστω

μέσο του

Είναι $\displaystyle AC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},PM = \frac{a}{2},BP = \frac{a}{4},BD = \frac{{a(\sqrt 3 - 1)}}{2}.$ Θέτω BS=x.

: Λογύδριο.png (13.39 KiB) Προβλήθηκε 970 φορές

$\displaystyle BN||PM \Leftrightarrow \frac{{SB}}{{SP}} = \frac{{BN}}{{PM}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{{x + \dfrac{a}{4}}} = \dfrac{{\dfrac{{a(\sqrt 3 - 1)}}{4}}}{{\dfrac{a}{2}}} \Leftrightarrow 8x = 4x(\sqrt 3 - 1) + a(\sqrt 3 - 1) \Leftrightarrow$

$\displaystyle x = \frac{{a(\sqrt 3 - 1)}}{{4(3 - \sqrt 3 )}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{12}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\dfrac{BS}{AC}=\dfrac{1}{6}}$

#5

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 27, 2021 8:18 pm Λογύδριον.pngΤο είναι το μέσο της και το το μέσο της . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BS}{AC}$ .

Η από το

παράλληλη τέμνει την ευθεία

στο

.

Επειδή στο τραπέζιο BPCA

το

είναι σημείο τομής των διαγώνιων του ,

αν $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ τα μέσα των βάσεών του , οι ευθείες : $\overline {MDT} ,\,\,AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CP$ συντρέχουν έστω στο

.

: Λογύδριον_ok_New.png (20.98 KiB) Προβλήθηκε 955 φορές

Η τετράδα : $\left( {J,D\backslash T,M} \right)$ είναι αρμονική . Αφού στην αρμονική δέσμη , $S\left( {J,D\backslash T,M} \right)$ η ακτίνα

διέρχεται από το μέσο της

θα είναι

.

Αν

το μέσο της

και η τετράδα $\left( {J,B\backslash S,F} \right)$ είναι αρμονική .

Επειδή: FM//BD//ST

και Θ. διχοτόμων έχω: $\boxed{\frac{{SB}}{{BF}} = \frac{{TD}}{{DM}} = \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\, \Rightarrow \boxed{SB = \frac{{BF}}{{\sqrt 3 }}\,\left( 1 \right)}}$

Άρα λόγω της $\left( 1 \right)$ προκύπτει : $\boxed{\dfrac{{SB}}{{AC}} = \dfrac{{\frac{{BF}}{{\sqrt 3 }}}}{{\sqrt 3 AB}} = \dfrac{{BF}}{{3AB}} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}}$

nickchalkida · #6

Ακόμα μία διατύπωση ... με $AB \parallel NE \parallel OM$ και $FM \parallel BC$ .

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} & {BS \over AC} = {BS \over AB \cdot \sqrt{3}} = {BS \over OM \cdot 2\sqrt{3}} \cr & \cr & {BS \over OM} = {BN \over ON} = {AE \over EM} = {EF \over EM} = {AB \over AC} ={1 \over \sqrt{3}} \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow {BS \over AC} = {1 \over \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}} = {1 \over 6} }$

Ιστοσελίδα · #7

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 27, 2021 8:18 pm Το είναι το μέσο της και το το μέσο της . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BS}{AC}$ .

: shape.png (18.68 KiB) Προβλήθηκε 915 φορές

Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο AECN

και από θεώρημα διχοτόμου και ομοιότητα θα έχω αντίστοιχα:

$\dfrac{{2k}}{{2y - 2k}} = \dfrac{y}{{y\sqrt 3 }} \Leftrightarrow k = \dfrac{y}{{1 + \sqrt 3 }}\,\,(1)$

$\dfrac{x}{k} = \dfrac{{x + y}}{{2y - k}} \Leftrightarrow 2xy = k(2x + y)\,\,(2)$

Από $(1),(2) \Rightarrow y = 2x\sqrt 3$ , άρα $\dfrac{{BS}}{{AC}} = \dfrac{x}{{y\sqrt 3 }} = \dfrac{1}{6}$

Λογύδριον

Λογύδριον

Re: Λογύδριον

Re: Λογύδριον

Re: Λογύδριον

Re: Λογύδριον

Re: Λογύδριον

Re: Λογύδριον

Μέλη σε σύνδεση