Διαλέξτε τον βαθμό σας
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
Διαλέξτε τον βαθμό σας
Το εμβαδόν αυτού του τριγώνου ( αφού το υπολογίσετε ) , είναι ο βαθμός σας .
Αν θέλετε άριστα , βρείτε επιπλέον ένα τέτοιο τρίγωνο με εμβαδόν τ. μ.
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Διαλέξτε τον βαθμό σας
Αρκεί . Συνεπώς θα έχω:
και έτσι προκύπτει:
Re: Διαλέξτε τον βαθμό σας
Κύριοι δεν έγινα σαφής . Το μπόνους του β' ερωτήματος είναι μόλις ( περίπου ) .
- nickchalkida
- Δημοσιεύσεις: 312
- Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
- Επικοινωνία:
Re: Διαλέξτε τον βαθμό σας
Ίσως δεν κατάλαβα κάτι ..., ἀλλά και εδώ υπάρχει δεκάρι.
- Συνημμένα
-
- rsz_deka.png (38.36 KiB) Προβλήθηκε 834 φορές
Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Διαλέξτε τον βαθμό σας
Σωστόnickchalkida έγραψε: ↑Πέμ Ιουν 10, 2021 11:12 pmΊσως δεν κατάλαβα κάτι ..., ἀλλά και εδώ υπάρχει δεκάρι.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Διαλέξτε τον βαθμό σας
Επί της ακτίνας θεωρώ σημείο ώστε Στη συνέχεια
επιλέγω τα ως τα σημεία τομής του κύκλου με τη κάθετη στη διάμετρο από το Ο βαθμός μου είναι Όποιος έχει αντίρρηση, μπορεί να το ελέγξει
Re: Διαλέξτε τον βαθμό σας
Αν θεωρούσαμε γνωστό ότι τότε η απάντηση του Γιώργου δίνει πράγματι το μέγιστο εμβαδόν .
Ας το σκεφθούμε έτσι : Με επιλεγμένο το άρα σταθερή την βάση αναζητώ το μέγιστο ύψος
το οποίο προκύπτει φέροντας τη μεσοκάθετη του . Κάνοντας τον ίδιο συλλογισμό , θα έπρεπε το
να είναι πάνω στην μεσοκάθετη του , να συμπίπτει δηλαδή με το του σχήματος .
Λόγω λοιπόν της συμμετρίας , πρέπει όντως . Μπορούμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε για το εμβαδόν την συνάρτηση :
...
Ας το σκεφθούμε έτσι : Με επιλεγμένο το άρα σταθερή την βάση αναζητώ το μέγιστο ύψος
το οποίο προκύπτει φέροντας τη μεσοκάθετη του . Κάνοντας τον ίδιο συλλογισμό , θα έπρεπε το
να είναι πάνω στην μεσοκάθετη του , να συμπίπτει δηλαδή με το του σχήματος .
Λόγω λοιπόν της συμμετρίας , πρέπει όντως . Μπορούμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε για το εμβαδόν την συνάρτηση :
...
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Σάβ Δεκ 24, 2022 7:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Διαλέξτε τον βαθμό σας
Kαλημέρα σε όλους. Πολλές φορές έχω θέσει το (αναπάντητο από εμένα) ερώτημα περί της τεκμηριώσεως της ιστορικά εφαρμοσμένης μεθόδου του "προς στιγμήν σταθερού μεγέθους". Τη χρησιμοποιούσαν π.χ. οι Ιησουΐτες, καθώς και οι έλληνες αλγεβριστές στις μεθόδους εντοπισμού ακροτάτων και (εκ του αποτελέσματος) φαίνεται να "δουλεύει" μια χαρά. Δεν έχω βρει αντιπαράδειγμα, ούτε, όμως, σαφή τεκμηρίωση. Θα χαιρόμουν να δω περισσότερες πληροφορίες για τι θέμα αυτό. Όχι άρθρα με εφαρμογές της, αλλά με την θεωρητική τεκμηρίωσή της.
Στο θέμα μας. Το προσέγγισα με δύο εργαλεία (πολικές και αλγεβρικές συντεταγμένες σημείων κύκλου). Παραθέτω ότι έκανα, χρησιμοποιώντας (λιγουλάκι) μερικές παραγώγους (ενθυμούμενος τα χρόνια τα φοιτητικά). Επειδή με την πάροδο του χρόνου η μνήμη ασθενεί, θα ήμουν υπόχρεος σε όποιον εντοπίσει κάποιο αδύνατο η λανθασμένο σημείο στην προσέγγισή μου.
1η λύση:
Παίρνουμε .
Έστω , οπότε .
Τότε με το μέγιστο όταν (ή, βεβαίως, αντίστροφα).
Έστω
Είναι ,
, οπότε
άρα
Έστω
,
Αναγκαία συνθήκη για να έχουμε σημείο στασιμότητας είναι
Από (1), (2), έχουμε δηλαδή , οπότε .
Τότε
Η συνάρτηση έχει παράγωγο
.
Για την τιμή αυτή του η συνάρτηση έχει μέγιστο. Οπότε
- nickchalkida
- Δημοσιεύσεις: 312
- Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
- Επικοινωνία:
Re: Διαλέξτε τον βαθμό σας
Επειδή συμβαίνει όταν θα είναι
Δηλαδή τα , ορίζονται σαν η τομή της υπερβολής με τον κύκλο .
Επιλύοντας το σύστημα, παίρνω αποδεκτή λύση
Τότε βρίσκω
Δηλαδή τα , ορίζονται σαν η τομή της υπερβολής με τον κύκλο .
Επιλύοντας το σύστημα, παίρνω αποδεκτή λύση
Τότε βρίσκω
- Συνημμένα
-
- rsz_grade.png (107.29 KiB) Προβλήθηκε 679 φορές
Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Διαλέξτε τον βαθμό σας
2η λύση (με αλγεβρικές συντεταγμένες):
Με το παραπάνω σχήμα:
Έστω με
Είναι , , οπότε
άρα
(Εδώ συμβαίνει ένα θαύμα. Μια φωνή από ψηλά (ή έστω από τον κάμπο της Καρδίτσας) μάς υποδεικνύει ότι το μέγιστο εμφανίζεται όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές).
Έστω , οπότε
Τότε
Η συνάρτηση έχει παράγωγο
Με πίνακα προσήμων βρίσκουμε ότι έχει μέγιστο για
Τότε
και
edit: Ταυτόχρονα με αυτήν την ανάρτηση βλέπω και τη γεωμετρική ανάρτηση του Νίκου. Τροφή για σκέψη και μελέτη!
Με το παραπάνω σχήμα:
Έστω με
Είναι , , οπότε
άρα
(Εδώ συμβαίνει ένα θαύμα. Μια φωνή από ψηλά (ή έστω από τον κάμπο της Καρδίτσας) μάς υποδεικνύει ότι το μέγιστο εμφανίζεται όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές).
Έστω , οπότε
Τότε
Η συνάρτηση έχει παράγωγο
Με πίνακα προσήμων βρίσκουμε ότι έχει μέγιστο για
Τότε
και
edit: Ταυτόχρονα με αυτήν την ανάρτηση βλέπω και τη γεωμετρική ανάρτηση του Νίκου. Τροφή για σκέψη και μελέτη!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες