Το πλησιέστερο σημείο

KARKAR · #1

: Το πλησιέστερο σημείο.png (12.93 KiB) Προβλήθηκε 1877 φορές

Α) Βρείτε την ελάχιστη απόσταση

, του σημείου S(10,1)

από την γραφική παράσταση της συνάρτησης :

$f(x)=\dfrac{x^2}{9}$ , καθώς και το σημείο

. Δείξτε ότι το

, είναι κάθετο στην εφαπτομένη της $C_{f}$ , στο

.

Προαιρετικά : Δώστε μια γεωμετρική εξήγηση της παραπάνω καθετότητας .

BAGGP93 · #2

Καλησπέρα. Στόχος λοιπόν είναι να ελαχιστοποιήσουμε την ποσότητα d(x)=SA

καθώς $x\in\mathbb{R}$ , όπου $A\left(x,\dfrac{x^2}{9}\right)$ .

Ισοδύναμα ελαχιστοποιούμε την $w(x)=d^2(x)=(SA)^2=(x-10)^2+\left(\dfrac{x^2}{9}-1\right)^2=\dfrac{x^4}{81}+\dfrac{7\,x^2}{9}-20\,x+101\,,x\in\mathbb{R}$

ή ακόμα την απλούστερη $s(x)=81\,w(x)=x^4+63\,x^2-1620\,x+8181\,,x\in\mathbb{R}$

Έχουμε τώρα $s^{\prime}(x)=4\,x^3+126\,x-1620=2\,(2\,x^3+63\,x-810)=2\,(x-6)\,(2\,x^2+12\,x+135)\,,x\in\mathbb{R}$ όπου το τριώνυμο

$2\,x^2+12\,x+135$ με αρνητική διακρίνουσα και θετικό a=2

είναι παντού θετικό.

Με αυτή την παραγοντοποίηση προκύπτει ότι η

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x=6

το

. Άρα,

. Η κλίση της

τότε είναι

$m=\dfrac{4-1}{6-10}=-\dfrac{3}{4}$ ενώ η εφαπτόμενη της

στο

έχει κλίση $f^{\prime}(6)=\dfrac{4}{3}=-\dfrac{1}{m}$ .

Χμμμ, γεωμετρικά, δεν μου ήρθε κάτι. Ανυπομονώ να το μάθω.

KARKAR · #3

: Το πλησιέστερο σημείο.png (13.06 KiB) Προβλήθηκε 1789 φορές

Η συνάρτηση είναι κυρτή , επομένως κάθε άλλο σημείο

, της $C_{f}$ , βρίσκεται στο ημιεπίπεδο

στο οποίο δεν βρίσκεται το

, συνεπώς το τμήμα

τέμνει την εφαπτομένη της $C_{f}$ στο

,

έστω στο σημείο

. Προφανώς τώρα : SB>ST>SA

( πλάγιο - κάθετο ) .

#4

την έχουμε ξαναδεί . Δεν θυμάμαι πότε

Al.Koutsouridis · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 25, 2021 1:00 pm
Προαιρετικά : Δώστε μια γεωμετρική εξήγηση της παραπάνω καθετότητας .

Πρόταση 31 του πέμπτου βιβλίου των κωνικών του Απολλώνιου:

Αν φέρουμε από το πέρας του ελάχιστου ευθύγραμμου τμήματος που έχουμε φέρει προς μια από (κωνικές) τις τομές, ευθεία υπό ορθή γωνία (προς το ελάχιστο τμήμα) και αυτό το πέρας είναι αυτό (που βρίσκεται) της κωνικής, τότε η ευθεία που έχει φερθεί είναι εφαπτόμενη στην τομή (κωνική).

Έστω

, η κωνική τομή με το ελάχιστο τμήμα, $\Gamma B$ (βλέπε σχήμα). Τότε λέω ότι η ευθεία που διέρχεται από το

και είναι κάθετη στην $\Gamma B$ , είναι εφαπτόμενη στην κωνική.

Απόδειξη: Έστω ότι δύναται να μην είναι εφαπτόμενη, και ας τέμνει (την κωνική) κατά την ευθεία $EB\Theta$ . Φέρουμε από σημείο, έστω

, εκτός της κωνικής μεταξύ αυτής και της ευθείας $B\Theta$ , ευθεία

και φέουμε κάθετη, έστω $\Gamma HZ$ , από το σημείο $\Gamma$ προς την ευθεία

.

Τότε η γωνία $\angle \Gamma BZ$ είναι οξεία και η γωνία $\angle \Gamma ZB$ ορθή.

$\Gamma Z < \Gamma B$

Άρα το τμήμα $\Gamma H$ είναι ακόμα πιο μικρότερο από ότι το $\Gamma B$ .

Όμως $\Gamma B$ ήταν το ελάχιστο τμήμα. άτοπο. Οπότε η ευθεία που φέραμε από το

κάθετη προς το $B\Gamma$ είναι εφαπτόμενη στην τομή. ό.έ.δ.

: apollonius_v31.png (9.82 KiB) Προβλήθηκε 1638 φορές

Λάμπρος Κατσάπας · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 25, 2021 1:00 pm

Προαιρετικά : Δώστε μια γεωμετρική εξήγηση της παραπάνω καθετότητας .

Με κέντρο το

φέρουμε κύκλο που τέμνει την καμπύλη. Ο κύκλος αυτός είναι ισοστάθμικη καμπύλη. Το θέμα είναι ότι σε θέση ακροτάτου η ισοστάθμικη δεν μπορεί να τέμνει την καμπύλη παρά μόνο να εφάπτεται. Ο λόγος είναι απλός. Αν τέμνει σε δύο σημεία την καμπύλη απλά κινούμαστε σε σημείο της καμπύλης που είναι εσωτερικό του κύκλου και παίρνουμε μικρότερη απόσταση. Επομένως καμπύλη και κύκλος θα εφάπτονται δηλαδή ο κύκλος και η καμπύλη θα έχουν κοινή εφαπτομένη στη θέση ακροτάτου.

Al.Koutsouridis · #7

R BORIS έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 26, 2021 10:54 am
την έχουμε ξαναδεί . Δεν θυμάμαι πότε

Π.χ. εδώ https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=56&t=66666

Το πλησιέστερο σημείο

Το πλησιέστερο σημείο

Re: Το πλησιέστερο σημείο

Re: Το πλησιέστερο σημείο

Re: Το πλησιέστερο σημείο

Re: Το πλησιέστερο σημείο

Re: Το πλησιέστερο σημείο

Re: Το πλησιέστερο σημείο

Μέλη σε σύνδεση