4 κύκλοι, 6 εφαπτόμενες
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
4 κύκλοι, 6 εφαπτόμενες
Με αφορμή το πολύ όμορφο πρόβλημα που μόλις συζητήθηκε εδώ, τολμώ να προτείνω το εξής (χωρίς λύση ή έστω απάντηση):
Να εξεταστεί αν στο παρακάτω σχήμα οι τρεις νέες κοινές εφαπτόμενες είναι όντως κοινές σε τρεις κύκλους, και αν μαζί με τις παλιές κοινές εφαπτόμενες όντως ορίζουν κανονικό εξάγωνο.
Να εξεταστεί αν στο παρακάτω σχήμα οι τρεις νέες κοινές εφαπτόμενες είναι όντως κοινές σε τρεις κύκλους, και αν μαζί με τις παλιές κοινές εφαπτόμενες όντως ορίζουν κανονικό εξάγωνο.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: 4 κύκλοι, 6 εφαπτόμενες
Καλησπέρα Γιώργο!gbaloglou έγραψε: ↑Πέμ Απρ 22, 2021 6:29 pmΜε αφορμή το πολύ όμορφο πρόβλημα που μόλις συζητήθηκε εδώ, τολμώ να προτείνω το εξής (χωρίς λύση ή έστω απάντηση):
Να εξεταστεί αν στο παρακάτω σχήμα οι τρεις νέες κοινές εφαπτόμενες είναι όντως κοινές σε τρεις κύκλους, και αν μαζί με τις παλιές κοινές εφαπτόμενες όντως ορίζουν κανονικό εξάγωνο.
τετρακυκλεξάγωνο.png
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: 4 κύκλοι, 6 εφαπτόμενες
george visvikis έγραψε: ↑Παρ Απρ 23, 2021 2:29 pmΚαλησπέρα Γιώργο!gbaloglou έγραψε: ↑Πέμ Απρ 22, 2021 6:29 pmΜε αφορμή το πολύ όμορφο πρόβλημα που μόλις συζητήθηκε εδώ, τολμώ να προτείνω το εξής (χωρίς λύση ή έστω απάντηση):
Να εξεταστεί αν στο παρακάτω σχήμα οι τρεις νέες κοινές εφαπτόμενες είναι όντως κοινές σε τρεις κύκλους, και αν μαζί με τις παλιές κοινές εφαπτόμενες όντως ορίζουν κανονικό εξάγωνο.
τετρακυκλεξάγωνο.png
4 κύκλοι 6 εφαπτόμενες.png
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: 4 κύκλοι, 6 εφαπτόμενες
Δεν είμαι απόλυτα σίγουρος για την πληρότητα της απόδειξης.
Φέρνω τις ευθείες εφαπτόμενες στον κύκλο Άρα κάθε πράσινη ευθεία απέχει από
την μπλε παράλληλή της απόσταση ίση με Οι πράσινες ευθείες τέμνονται ανά δύο και σχηματίζουν το τρίγωνο
Το είναι ισόπλευρο, άρα και το θα είναι ισόπλευρο και ίσο με Έτσι, τα ίσα ισόπλευρα τρίγωνα
και έχουν τις πλευρές τους παράλληλες και κοινό εγγεγραμμένο κύκλο. Επομένως οι κορυφές τους θα
είναι κορυφές κανονικού εξαγώνου.
Προφανώς εκ κατασκευής η εφάπτεται και στον κύκλο και επειδή η είναι κοινή εσωτερική εφαπτομένη
των τότε και η λόγω συμμετρίας θα είναι κοινή εσωτερική εφαπτομένη των Άρα η είναι
κοινή εφαπτομένη των τριών κύκλων Ομοίως και για τις άλλες δύο πράσινες ευθείες.
την μπλε παράλληλή της απόσταση ίση με Οι πράσινες ευθείες τέμνονται ανά δύο και σχηματίζουν το τρίγωνο
Το είναι ισόπλευρο, άρα και το θα είναι ισόπλευρο και ίσο με Έτσι, τα ίσα ισόπλευρα τρίγωνα
και έχουν τις πλευρές τους παράλληλες και κοινό εγγεγραμμένο κύκλο. Επομένως οι κορυφές τους θα
είναι κορυφές κανονικού εξαγώνου.
Προφανώς εκ κατασκευής η εφάπτεται και στον κύκλο και επειδή η είναι κοινή εσωτερική εφαπτομένη
των τότε και η λόγω συμμετρίας θα είναι κοινή εσωτερική εφαπτομένη των Άρα η είναι
κοινή εφαπτομένη των τριών κύκλων Ομοίως και για τις άλλες δύο πράσινες ευθείες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: 4 κύκλοι, 6 εφαπτόμενες
Γιώργο γεια σου, η απόδειξη σου μου φαίνεται μια χαρά!
Νομίζω ότι το πιο κρίσιμο σημείο είναι η τρίτη σειρά και η ισότητα των δύο ισοπλεύρων τριγώνων. Πολύ καλά, ισχύει γενικώς ότι αν φέρουμε παράλληλες προς κάθε πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου δημιουργείαι νέο ισόπλευρο τρίγωνο, όχι αναγκαστικά ίσο προς το αρχικό. Όταν όμως οι παράλληλες αυτές είναι εφαπτόμενες στον εγγεγραμμένο κύκλο, τότε το 'εσωτερικό' εξάγωνο που δημιουργούν οι τομές τους είναι κανονικό εξάγωνο (ως περιγεγραμμένο σε κύκλο -- εύκολο από ίσα 'εφαπτομενικά' ορθογώνια τρίγωνα κοινής υποτείνουσας): από εδώ προκύπτουν και άλλες ισότητες και κανονικότητες και συμμετρίες*, και βεβαίως και η κανονικότητα του μεγάλου εξαγώνου, νομίζω!
*ειδικώτερα οι 'ανακλάσεις πλευράς' του κανονικού εξαγώνου ... που πολύ έξυπνα χρησιμοποιείς για να (απο)δείξεις και στενές επαφές τρίτου κύκλου
Νομίζω ότι το πιο κρίσιμο σημείο είναι η τρίτη σειρά και η ισότητα των δύο ισοπλεύρων τριγώνων. Πολύ καλά, ισχύει γενικώς ότι αν φέρουμε παράλληλες προς κάθε πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου δημιουργείαι νέο ισόπλευρο τρίγωνο, όχι αναγκαστικά ίσο προς το αρχικό. Όταν όμως οι παράλληλες αυτές είναι εφαπτόμενες στον εγγεγραμμένο κύκλο, τότε το 'εσωτερικό' εξάγωνο που δημιουργούν οι τομές τους είναι κανονικό εξάγωνο (ως περιγεγραμμένο σε κύκλο -- εύκολο από ίσα 'εφαπτομενικά' ορθογώνια τρίγωνα κοινής υποτείνουσας): από εδώ προκύπτουν και άλλες ισότητες και κανονικότητες και συμμετρίες*, και βεβαίως και η κανονικότητα του μεγάλου εξαγώνου, νομίζω!
*ειδικώτερα οι 'ανακλάσεις πλευράς' του κανονικού εξαγώνου ... που πολύ έξυπνα χρησιμοποιείς για να (απο)δείξεις και στενές επαφές τρίτου κύκλου
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: 4 κύκλοι, 6 εφαπτόμενες
Γεια σου Γιώργο!
Ως προς την ισότητα των ισοπλεύρων δεν έχω αμφιβολία. Έχουν κοινό εγγεγραμμένο κύκλο ακτίνας , άρα θα έχουν και
πλευρές ίσες με και οι επαφές θα είναι στα μέσα των πλευρών. Άρα, τα είναι
ίσα ορθογώνια, οπότε το έχει ίσες πλευρές και ίσες γωνίες, δηλαδή είναι κανονικό εξάγωνο. Ωστόσο, αυτό που με προβλημάτισε, όχι ως προς την ορθότητα αλλά ως προς την πληρότητα της αιτιολόγησης, είναι οι
επαφές με τον τρίτο κύκλο.
Ως προς την ισότητα των ισοπλεύρων δεν έχω αμφιβολία. Έχουν κοινό εγγεγραμμένο κύκλο ακτίνας , άρα θα έχουν και
πλευρές ίσες με και οι επαφές θα είναι στα μέσα των πλευρών. Άρα, τα είναι
ίσα ορθογώνια, οπότε το έχει ίσες πλευρές και ίσες γωνίες, δηλαδή είναι κανονικό εξάγωνο. Ωστόσο, αυτό που με προβλημάτισε, όχι ως προς την ορθότητα αλλά ως προς την πληρότητα της αιτιολόγησης, είναι οι
επαφές με τον τρίτο κύκλο.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: 4 κύκλοι, 6 εφαπτόμενες
Γιώργο τον συλλογισμό σου τον αντιλήφθηκα ως εξής: οι 4 κύκλοι και το εξάγωνο έχουν ως άξονα συμμετρίας την , και οι , είναι συμμετρικές αλλήλων ως προς την ^ η εφάπτεται του κύκλου , άρα, λόγω συμμετρίας, εφάπτεται και η του .george visvikis έγραψε: ↑Παρ Απρ 23, 2021 7:43 pmΓεια σου Γιώργο!
Ως προς την ισότητα των ισοπλεύρων δεν έχω αμφιβολία. Έχουν κοινό εγγεγραμμένο κύκλο ακτίνας , άρα θα έχουν και
πλευρές ίσες με και οι επαφές θα είναι στα μέσα των πλευρών. Άρα, τα είναι
ίσα ορθογώνια, οπότε το έχει ίσες πλευρές και ίσες γωνίες, δηλαδή είναι κανονικό εξάγωνο. 2 ισ. 2 εξ..png
Ωστόσο, αυτό που με προβλημάτισε, όχι ως προς την ορθότητα αλλά ως προς την πληρότητα της αιτιολόγησης, είναι οι
επαφές με τον τρίτο κύκλο.
Πλήρης δεν είναι; Που/πως χωλαίνει;
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: 4 κύκλοι, 6 εφαπτόμενες
Γιώργο, ο συλλογισμός μου είναι αυτός ακριβώς που περιγράφεις. Είχα κάποιες αμφιβολίες γιατί όπως ξέρεις, πολλές φορές τυχαίνει να "κολλήσουμε" και να πιστεύουμε ότι κάτι μας διαφεύγει. Σ' ευχαριστώ πάντως για την διαβεβαίωση της πληρότητας.gbaloglou έγραψε: ↑Παρ Απρ 23, 2021 8:00 pmΓιώργο τον συλλογισμό σου τον αντιλήφθηκα ως εξής: οι 4 κύκλοι και το εξάγωνο έχουν ως άξονα συμμετρίας την , και οι , είναι συμμετρικές αλλήλων ως προς την ^ η εφάπτεται του κύκλου , άρα, λόγω συμμετρίας, εφάπτεται και η του .george visvikis έγραψε: ↑Παρ Απρ 23, 2021 7:43 pmΓεια σου Γιώργο!
Ως προς την ισότητα των ισοπλεύρων δεν έχω αμφιβολία. Έχουν κοινό εγγεγραμμένο κύκλο ακτίνας , άρα θα έχουν και
πλευρές ίσες με και οι επαφές θα είναι στα μέσα των πλευρών. Άρα, τα είναι
ίσα ορθογώνια, οπότε το έχει ίσες πλευρές και ίσες γωνίες, δηλαδή είναι κανονικό εξάγωνο. 2 ισ. 2 εξ..png
Ωστόσο, αυτό που με προβλημάτισε, όχι ως προς την ορθότητα αλλά ως προς την πληρότητα της αιτιολόγησης, είναι οι
επαφές με τον τρίτο κύκλο.
Πλήρης δεν είναι; Που/πως χωλαίνει;
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες