Ρητές προσεγγίσεις του e

#1

Με αφορμή την συζήτηση εδώ ... προτείνω:

(Ι) Να δειχθεί ότι $e<\dfrac{87}{32}.$

(II) Να βρεθούν ακόμη καλύτερα ρητά άνω φράγματα του

.

[Σημείο εκκίνησης η $e=\sum\dfrac{1}{n!}$ .]

KARKAR · #2

Άσχετο αλλά όχι εντελώς : Είναι : $\dfrac{19}{7}<e$ ... και : $\pi<\dfrac{22}{7}$ .

Πρόκειται για δύο εξαιρετικές ομώνυμες προσεγγίσεις των $e , \pi$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 20, 2021 1:51 pm
Άσχετο αλλά όχι εντελώς : Είναι : $\dfrac{19}{7}<e$ ... και : $\pi<\dfrac{22}{7}$ .

Πρόκειται για δύο εξαιρετικές ομώνυμες προσεγγίσεις των $e , \pi$ .

Για την πρώτη -- που μας ενδιαφέρει εδώ ... έστω και εξ αντανακλάσεως -- έχουμε:

$e>1+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{120}=\dfrac{163}{60}>\dfrac{19}{7}$

#4

Για κάθε $k \geqslant 1$ έχουμε

$\begin{aligned} e &= 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{(k-1)!}\left(1 + \frac{1}{k} + \frac{1}{k(k+1)} + \cdots \right) \\ &< 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{(k-1)!}\left(1 + \frac{1}{k} + \frac{1}{k^2} + \cdots \right) \\ &= 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{(k-2)!} + \frac{k}{(k-1) \cdot (k-1)!} \end{aligned}$

Για k = 5

έχουμε την προσέγγιση που ζητάει ο Γιώργος. Για k=6

η επόμενη προσέγγιση είναι $k < \frac{1631}{600}$

#5

Demetres έγραψε: ↑
Τρί Απρ 20, 2021 3:50 pm
Για κάθε $k \geqslant 1$ έχουμε

$\begin{aligned} e &= 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{(k-1)!}\left(1 + \frac{1}{k} + \frac{1}{k(k+1)} + \cdots \right) \\ &< 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{(k-1)!}\left(1 + \frac{1}{k} + \frac{1}{k^2} + \cdots \right) \\ &= 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{(k-2)!} + \frac{k}{(k-1) \cdot (k-1)!} \end{aligned}$

Για έχουμε την προσέγγιση που ζητάει ο Γιώργος. Για η επόμενη προσέγγιση είναι $e < \frac{1631}{600}$

Οπότε ... $1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{(k-1)!}<e<1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{(k-2)!} + \frac{k}{(k-1) \cdot (k-1)!}$

mick7 · #6

Για καθένα απο τα $\pi$ και

ίσως είναι "εύκολη" η προσέγγιση τους. Πως θα κινηθούμε όμως για να βρούμε μια προσέγγιση για το άθροισμα τους $\displaystyle \pi+e$ ?

#7

mick7 έγραψε: ↑
Τρί Απρ 20, 2021 4:54 pm
Για καθένα απο τα $\pi$ και ίσως είναι "εύκολη" η προσέγγιση τους. Πως θα κινηθούμε όμως για να βρούμε μια προσέγγιση για το άθροισμα τους $\displaystyle \pi+e$ ?

Απλά βρίσκουμε άνω και κάτω φράγματα του καθενός χωριστά, και προσθέτουμε κατά μέλη. Π.χ. από τα

$3,1415926535897 <\pi < 3,1415926535898$
2,7182818284590 <e < 2,7182818284591

βρίσκουμε

$5,8598744820487 < \pi +e < 5,8598744820489$

mick7 · #8

Αυτό που αναρωτιόμουνα είναι αν υπάρχει (προσεγγιστική) έκφραση που δίνει το άθροισμα όπως πχ

$\displaystyle \pi+e=\sum_i^n f(n)$

όπως για το e έχουμε $e=\sum_0^\infty\frac{1}{n!}$

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Απρ 20, 2021 5:40 pm

Απλά βρίσκουμε άνω και κάτω φράγματα του καθενός χωριστά, και προσθέτουμε κατά μέλη. Π.χ. από τα

$3,1415926535897 <\pi < 3,1415926535898$

βρίσκουμε

$5,8598744820487 < \pi +e < 5,8598744820489$

#9

mick7 έγραψε: ↑
Τρί Απρ 20, 2021 6:05 pm
Αυτό που αναρωτιόμουνα είναι αν υπάρχει (προσεγγιστική) έκφραση που δίνει το άθροισμα όπως πχ

$\displaystyle \pi+e=\sum_i^n f(n)$

όπως για το e έχουμε $e=\sum_0^\infty\frac{1}{n!}$

Κάτι πήγε λάθος με τους δείκτες. Ασφαλώς και υπάρχει βέβαια. Π.χ. αν πάρουμε το $\displaystyle e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$ και $\displaystyle \pi = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{2n+1}$ τότε έχουμε

$\displaystyle e + \pi = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{n!} + \frac{4(-1)^n}{2n+1} \right)$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Απρ 20, 2021 12:33 pm
Με αφορμή την συζήτηση εδώ ... προτείνω:

(Ι) Να δειχθεί ότι $e<\dfrac{87}{32}.$

(II) Να βρεθούν ακόμη καλύτερα ρητά άνω φράγματα του .

[Σημείο εκκίνησης η $e=\sum\dfrac{1}{n!}$ .]

Για να έχουμε καλύτερο υπόλοιπο είναι καλύτερο να πάρουμε ρητή προσέγγιση του
$\displaystyle \frac{1}{e}$
Είναι
$\displaystyle \frac{1}{e}=\sum_{n=2}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n!}$

Εύκολα βλέπουμε ότι

$\displaystyle a=\sum_{n=2}^{2k-1}\frac{(-1)^n}{n!}< e^{-1}< \sum_{n=2}^{2k}\frac{(-1)^n}{n!}$

Ετσι
$\displaystyle |e-\frac{1}{a}|\leq \frac{e}{a}\frac{1}{(2k)!}< 9 \frac{1}{(2k)!}$

Ρητές προσεγγίσεις του e

Ρητές προσεγγίσεις του e

Re: Ρητές προσεγγίσεις του e

Re: Ρητές προσεγγίσεις του e

Re: Ρητές προσεγγίσεις του e

Re: Ρητές προσεγγίσεις του e

Re: Ρητές προσεγγίσεις του e

Re: Ρητές προσεγγίσεις του e

Re: Ρητές προσεγγίσεις του e

Re: Ρητές προσεγγίσεις του e

Re: Ρητές προσεγγίσεις του e

Μέλη σε σύνδεση