Ελάχιστο για ελαχίστους
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
Ελάχιστο για ελαχίστους
στο , τέμνει τις προεκτάσεις των στα σημεία αντίστοιχα και έστω
το μέσο του τμήματος . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος .
Λέξεις Κλειδιά:
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Ελάχιστο για ελαχίστους
Μια λύση εκτός φακέλου:
Υποθέτουμε ότι το τεταρτοκύκλιο ανήκει στον κύκλο (στο 1ο τεταρτημόριο).
Ας είναι , οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η . Τότε φανερά είναι και . Άρα είναι .
Ισχύει
οπότε και η ισότητα ισχύει όταν
, δηλαδή όταν δηλαδή
Υποθέτουμε ότι το τεταρτοκύκλιο ανήκει στον κύκλο (στο 1ο τεταρτημόριο).
Ας είναι , οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η . Τότε φανερά είναι και . Άρα είναι .
Ισχύει
οπότε και η ισότητα ισχύει όταν
, δηλαδή όταν δηλαδή
Μάγκος Θάνος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ελάχιστο για ελαχίστους
Αν , τότε και . Από Πυθαγόρειο .
Mε παραγώγιση έχουμε ακρότατο όταν , από όπου ή αλλιώς .
Τα υπόλοιπα, όπως η τιμή του , είναι άμεσα από τις
Edit: Τώρα βέλπω την λύση του Θάνου. Το αφήνω παρά τις ομοιότητες σε διάφορα σημεία.
Re: Ελάχιστο για ελαχίστους
Με τη βοήθεια μετρικών σχέσεων στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε:
Αν τότε:
Ακόμη: και
Έτσι οπότε και το ίσον ισχύει όταν
Διαφορετικά, για τις ανάγκες του φακέλου, θεωρούμε τη συνάρτηση ,
η οποία εκφράζει το μήκος του , και με τη βοήθεια της παραγώγου βρίσκουμε ότι έχει ελάχιστο για με τιμή .
Αν τότε:
Ακόμη: και
Έτσι οπότε και το ίσον ισχύει όταν
Διαφορετικά, για τις ανάγκες του φακέλου, θεωρούμε τη συνάρτηση ,
η οποία εκφράζει το μήκος του , και με τη βοήθεια της παραγώγου βρίσκουμε ότι έχει ελάχιστο για με τιμή .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες