Έξυπνη κυρτότητα

KARKAR · #1

Δείξτε ότι η συνάρτηση : $f(x)=e^{x-\sqrt{x}}$ , είναι κυρτή .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 22, 2021 8:21 pm
Δείξτε ότι η συνάρτηση : $f(x)=e^{x-\sqrt{x}}$ , είναι κυρτή .

Είναι

για

.
Αρα κυρτή στο πεδίο ορισμού της.

#3

$\displaystyle{x=t^2}$
Ta υπόλοιπα απλά...

Tolaso J Kos · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 22, 2021 10:07 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 22, 2021 8:21 pm
Δείξτε ότι η συνάρτηση : $f(x)=e^{x-\sqrt{x}}$ , είναι κυρτή .
Είναι για .
Αρα κυρτή στο πεδίο ορισμού της.

Μία εκτός ύλης λύση. Επειδή η $g(x) = x-\sqrt{x}$ είναι κυρτή έπεται ότι:

$\displaystyle{g (\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda g(x) + (1-\lambda) g(y)}$
Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} e^{g(\lambda x+(1-\lambda)y))} & \leq e^{\lambda g(x) + (1-\lambda) g(y)} \\ & = e^{\lambda v + (1-\lambda) w} \\ & \le \lambda e^v + (1-\lambda)e^w \\ & = \lambda e^{g(x)} + (1-\lambda)e^{g(y)} \end{aligned}}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 22, 2021 8:21 pm
Δείξτε ότι η συνάρτηση : $f(x)=e^{x-\sqrt{x}}$ , είναι κυρτή .

Η $x-\sqrt x$ είναι κυρτή ως άθροισμα των δύο κυρτών

και $-\sqrt x$ .

Άρα η $e^{x-\sqrt{x}}$ είναι κυρτή ως σύνθεση της αύξουσας και κυρτής e^x

και της κυρτής $x-\sqrt{x}}$ .

KARKAR · #6

Μια παρατήρηση που ίσως εντυπωσιάζει : Η $\dfrac{1}{f(x)}$ , παρουσιάζει και τα δύο είδη κυρτότητας .

Έξυπνη κυρτότητα

Έξυπνη κυρτότητα

Re: Έξυπνη κυρτότητα

Re: Έξυπνη κυρτότητα

Re: Έξυπνη κυρτότητα

Re: Έξυπνη κυρτότητα

Re: Έξυπνη κυρτότητα

Μέλη σε σύνδεση